系统的状态空间分析

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1、第8章系统的状态空间分析第8章系统的状态空间分析8.1状态空间描述8.2连续系统状态空间方程的建立8.3连续系统状态空间方程的求解8.4离散系统的状态空间分析8.5系统函数矩阵与系统稳定性8.1状态空间描述8.1.1状态变量和状态空间根据第一章讨论，我们知道连续时间系统在任意时刻t0的状态是一组最少数目的数据｛x1(t0),x2(t0),…，xn(t0)｝，这组数据连同时间间隔［t0,t］上的输入就足以确定系统在t时刻的输出(响应)。描述系统状态变化的变量称为状态变量。图8.1-1系统的状态变量对于图8.1-1的二阶网

2、络，由KVL和KCL方程可得考虑到iC(t)=CduC(t)/dt和uL(t)=LdiL(t)/dt，可将上面两式写成：若指定网络中的i(t)和u(t)为输出，则由图8.1-1可得设系统有n个状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t)。以状态变量作为分量组成的n维列矢量x(t)，称为系统的状态(列)矢量。记成矩阵形式为状态变量在初始观察时刻(t=t0-)的值称为系统的初始状态。图8.1-2状态轨迹8.1.2状态模型和状态空间方程图8.1-3系统的输入输出模型图8.1-4一阶动态系统采用积分器模拟图8.1-4(a)中

3、记忆元件特性时，该记忆元件的输入输出关系可表示为x(t0)已知鉴于记忆元件的“拉”出过程，并没有改变系统内部各部分间的连接关系，因此可以用记忆元件和无记忆部分的输入输出关系来表征原系统的特性，即图8.1-5动态系统的状态模型设n阶LTI离散系统，它具有p个输入f1(k),f2(k),…，fp(k);q个输出y1(k),y2(k),…,yq(k)。记系统的n个状态变量为x1(k),x2(k)，…，xn(k),则其状态方程是关于状态变量的一阶差分方程组，输出方程是关于输入、输出和状态变量的代数方程组。两组方程的标准形式可写

4、为x(k0)已知式中图8.1-6二输入二输出离散系统对于图8.1-6所示的二输入二输出离散系统，如果选择两个移位器的输出x1(k)、x2(k)作为系统的状态变量，则可在移位器的输入端写出状态方程：在系统的输出端得到输出方程：将上述两式写成矩阵形式，则有图8.1-7状态空间方程模拟框图(1)状态和状态变量的本质在于表征系统的记忆特性或动态特性。它概括了为了预知未来特性而必须知道的有关系统历史情况的信息，并以能量形式保存在系统中。因此，只有动态系统才存在状态和状态变量；而对于瞬时系统，则无状态和状态变量可言，自然也不存在状

5、态空间描述问题。(2)根据状态、状态变量的定义及其状态模型，一般可选取独立记忆元件(储能元件)中与系统能量有关的物理量作为系统的状态变量。典型的状态变量有：机械系统中与位能有关的位置变量，与动能有关的速度变量；电系统中与储存电场能有关的电容电压或电荷变量，与储存磁场能有关的电感电流或磁链变量；以及离散系统中移位器的输出变量等等。状态变量是一组独立变量，其数目等于独立记忆元件的个数，即系统的阶数。(3)设给定系统的状态矢量x(·)=［x1(·)x2(·)…xn(·)］T，将x(·)作如下线性变换：ω(·)=Px(·)

6、式中，ω(·)=［ω1(·)ω2(·)…ωn(·)］T，P为n×n阶常数矩阵，且

7、P

8、≠0。由于求解式(8.1-16)总可以得到x(·)，因此，其ω(·)矢量同样也是满足状态和状态变量定义的。可见，给定系统的状态变量选择并不是惟一的。在实际应用中，通常选取那些概念明确、测量容易并能使计算简化的物理量作为状态变量。例如，对于LTI电系统，可直接选取独立电容电压和电感电流或移位器输出信号作为状态变量。(4)根据状态空间方程，以先由状态方程解出状态矢量x(·)，然后由输出方程得到输出矢量y(·)。x(·)提供系统的内部信息

9、，y(·)给出系统的输出响应。这种利用状态空间描述方程分析系统的方法称为状态空间分析法。它是现代系统分析的理论基础。8.2连续系统状态空间方程的建立8.2.1直接编写法第一步，选取系统中所有独立电容电压和独立电感电流作为状态变量。第二步，对与状态变量相联系的每个电容和电感分别列出独立的节点(或割集)KCL方程和回路KVL方程。第三步，利用适当的KCL、KVL方程和元件伏安关系，消去上一步方程中可能出现的“非法”变量，然后整理得出标准形式的状态方程。第四步，用观察法列出输出方程。例8.2-1已知网络如图8.2-1所

10、示，取图中电压u3和电流i2作为输出，试建立该网络的状态方程和输出方程。图8.2-1例8.2-1图解取电感电流x1和电容电压x2为网络状态变量。对接有电容的节点b列写KCL方程有对含有电感的回路l1列写KVL方程为该式中i2是“非法”变量，应予以消去。为此，列出回路l2的KVL方程:考虑到节点a的KCL方程i1=i2+x1，上式