线形系统的状态空间分析与综合

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1、第九章线形系统的状态空间分析与综合1现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统，输入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，这就存在着系统内的所有状态是否可受输入影响和是否可由输出反映的问题，这就是可控性和可观测性问题。如果系统所有状态变量的运动都可以由输入来影响和控制而由任意的初态达到原点，则称系统是可控的，或者更确切地是状态可控的。否则，就称系统是不完全可控的，或简称为系统不可控。相应地，如果系统所有状态变量地任意形式的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系统可观测。二、线性系统的可控性与可观测性（1）2例

2、：给定系统的动态方程为将其表示为标量方程组的形式，有二、线性系统的可控性与可观测性（2）3这表明状态变量和都可通过选择控制量而由始点达到原点，因而系统完全可控。但是，输出只能反映状态变量，而与状态变量既无直接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。例：下图所示网络，设，输出。二、线性系统的可控性与可观测性（3）4当且初始状态时，则不论将输入取为何种形式，对于所有，只能是，不可能做到。也就是说，输入能够做到使和同时转移到任意相同的目标值，但不能将和分别转移到不同的目标值。这表明此电路不完全可控，简称电路不可控。由于，故系统可观测。1、可

3、控性考虑线性时变系统的状态方程二、线性系统的可控性与可观测性（4）5其中为维状态向量；为维输入向量；为时间定义区间；和分别为和矩阵。现对状态可控、系统可控和不可控分别定义如下：状态可控：对于上式所示线性时变系统，如果对取定初始时刻的一个非零初始状态，存在一个时刻和一个无约束的容许控制，使状态由转移到时的，则称此是在时刻可控的。二、线性系统的可控性与可观测性（5）6系统可控：对于上式所示线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在时刻可控的，则称系统在时刻是完全可控的，简称系统在时刻可控。若系统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致可控的

4、。系统不完全可控：对于上式所示线性时变系统，取定初始时刻，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻是不可控的，则称系统在时刻是不完全可控的，也称为系统是不可控的。可控性是表征系统状态运动的一个定性特性。必须是容许控制，即的每个分量均在时间区间上平方可积，即二、线性系统的可控性与可观测性（6）7此外，对于线性时变系统，其可控性与初始时刻的选取有关，是相对于中的一个取定时刻来定义的。而对于线性定常系统，其可控性与初始时刻的选取无关。状态与系统可达：若存在能将状态转移到的控制作用，则称状态是时刻可达的。若对所有时刻都是可达的，则称状态为完全可

5、达或一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻可达的，则称该系统是时刻状态完全可达的，或简称该系统是时刻可达的。对于线性定常连续系统，可控性与可达性是等价的。但对于离散系统和时变系统，严格地说两者是不等价的。二、线性系统的可控性与可观测性（7）82、可观测性可观测性表征状态可由输出完全反映的性能，所以应同时考虑系统的状态方程和输出方程其中，分别为的满足状态方程解的存在惟一性条件的时变矩阵。状态方程的解为二、线性系统的可控性与可观测性（8）9其中为系统的状态转移矩阵。将上式代入输出方程，可得输出响应为若定义则输出响应可写为这表明可观

6、测性即是可由完全估计的性能。由于和可取任意值，所以这又等价于研究时由来估计的可能性，即研究零输入方程二、线性系统的可控性与可观测性（9）10的可观测性。输出响应成为下面给出系统可观测性的有关定义。系统完全可观测：对于线性时变系统，如果取定初始时刻，存在一个有限时刻，对于所有，系统的输出能惟一确定状态向量的初值，则称系统在内是完全可观测的，简称可观测。如果对于一切系统都是可观测的，则称系统在内完全可观测。二、线性系统的可控性与可观测性（10）11系统不可观测：对于线性时变系统，如果取定初始时刻，存在一个有限时刻，对于所有，系统的输出不能惟一

7、确定所有状态的初值，即至少有一个状态的初值不能被确定，则称系统在时间区间内是不完全可观测的，简称不可观测。3、线性定常连续系统的可控性判据考虑线性定常连续系统的状态方程其中为维状态向量；为维输入向量；和分别为和常阵。二、线性系统的可控性与可观测性（11）12下面根据和给出系统可控性的常用判据。格拉姆矩阵判据线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是，存在时刻，使如下定义的格拉姆矩阵：为非奇异。格拉姆矩阵判据主要用于理论分析。线性定常连续系统可控性的常用判据是直接由矩阵和判断可控性的秩判据。凯莱－哈密顿定理设阶矩阵的特征多项式为二、线性系统的

8、可控性与可观测性（12）13则满足其特征方程，即推论1矩阵的次幂可表示为的阶多项式推论2矩阵指数可表示为的阶多项式秩判据线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是其中为矩阵的维数，称为系统的可控