状态空间分析与综合

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1、第9章线性系统的状态空间分析与综合重点与难点一、基本概念1．线性系统的状态空间描述（1）状态空间概念状态反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。状态变量确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。状态向量以状态变量为元素构成的向量。状态空间以状态变量为坐标所张成的空间。系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。状态方程状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是关于系统的一阶微分（或差分）方程组。输出方程输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。状

2、态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。线性定常系统状态空间表达式一般用矩阵形式表示：(9.1)（2）状态空间表达式的建立。系统状态空间表达式可以由系统微分方程、结构图、传递函数等其他形式的数学模型导出。（3）状态空间表达式的线性变换及规范化。描述某一系统的状态变量个数（维数）是确定的，但状态变量的选择并不唯一。某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作为状态向量来描述系统。状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。利用线性变换的目的在于使系统矩阵规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。满秩线性变换不改变

3、系统的固有特性。根据矩阵的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵化为三种规范形式：对角形、约当形和模式矩阵。（4）线性定常系统状态方程解。状态转移矩阵（即矩阵指数）及其性质：·264·i．ii．iii.iv.v.vi.vii.求状态转移矩阵的常用方法：拉氏变换法L－1（9.2）级数展开法（9.3）齐次状态方程求解（9.4）非齐次状态方程式（9.1）求解（9.5）（5）传递函数矩阵及其实现传递函数矩阵：输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系(9.6)传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵，找一个系统使式（9.

4、6）成立，则将系统称为的一个实现。当系统阶数等于传递函数矩阵阶数时，称该系统为的最小实现。传递函数矩阵的实现并不唯一。实现的常用标准形式有可控标准形实现、可观测标准形实现、对角形实现和约当形实现等。（6）线性定常连续系统的离散化及其求解对式（9.1）表示的线性定常数连续系统进行离散化，导出的系统离散状态空间描述为(9.8)·264·其中离散状态方程式（9.1）的解为(9.9)2.线性系统的可控性与可观测性（1）系统的（状态）可控性。设系统状态方程为，若在有限时间间隔内存在无约束的分段连续控制函数，能使系统从任意初始状态转

5、移到任意的终止状态，则称系统是状态完全可控的，简称可控。线性定常连续系统可控性常用判据：1）rank(9.10)2）当A为对角矩阵且特征根互异时，输入矩阵B中无全零行（当矩阵A有相同特征根时不适用）。当A为约当矩阵且相同特征根分布在一个约当块内时，输入矩阵中与约当块最后一行对应的行中不全为零，且输入矩阵中与相异特征根对应的行不全为零（当相同特征根分布在两个或两个以上约当块时不适用）。3）的行向量线性无关。4）单输入系统为可控标准形。5）单输入单输出系统，当由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消时，系统可控、可观测（

6、对多输入多输出系统不适用）。连续系统状态方程离散化后的可控性：连续系统不可控，离散化的系统一定不可控；连续系统可控，离散化后的系统不一定可控（与采样周期的选择有关）。（2）系统输出可控性。设系统状态空间表达式为式（9.1）,若在有限时间间隔内，存在无约束的分段连续控制函数，能使系统从任意初始输出转移到最终内测量到的输出，则称系统是输出完全可控的，简称输出可控。输出可控性判据为rank状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，其间没有必然联系。单输入单输出系统，若输出不可控，则系统或不可控或不可观测。（3）系统状态可观测性。

7、已知输出及有限时间间隔内测量到的输出，若能唯一确定初始状态，则称系统是完全可观测的，简称可观测。常用可观测性判据：·264·1）rank(9.11)2）当为对角矩阵且有相异特征值时，输出矩阵无全零列（阵有相同特征值时不适用）。当为约当阵且相同特征值分布在一个约当块时，输出矩阵中与约当块最前一列对应的列不全为零，输出矩阵中与相异特征值对应的列不全为零（相同特征值分布在两个或更多个约当块时不适用）。3）的列向量线性无关。4）单输出系统为可观测标准形。连续系统离散化后的可观测性：连续系统不可观测，离散化后一定不可观测；连续系统

8、可观测，离散化后不一定可观测（与采样周期的选择有关）。对偶原理：线性系统与互为对偶系统。若系统可控，则可观测；若系统可观测，则可控。（4）线性定常系统的规范分解。从可控性、可观测性出发，状态变量可分解为可控可观测、可控不可观测、不可控可观测和不可控不可观测四类。以此对应将状态空间划分为四个子空间，系统也对应分解为四个