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《高三数学复习专题26平面向量的数量积学案理苏科版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、学案26 平面向量的数量积【导学引领】考点梳理1．两个向量的夹角已知两个非零向量a和b(如图)，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.2．平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量
2、a
3、
4、b
5、·cosθ叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝
6、a
7、
8、b
9、·cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.3．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度
10、a
11、与b在a的方向上的投影
12、b
13、cosθ
14、的乘积．4．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝
15、a
16、cosθ；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝
17、a
18、
19、b
20、；当a与b反向时，a·b＝－
21、a
22、
23、b
24、；特别地，a·a＝
25、a
26、2；
27、a
28、＝；(4)cosθ＝；(5)
29、a·b
30、≤
31、a
32、
33、b
34、.5．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)＝λa·b(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.6．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此
35、得到(1)若a＝(x，y)，则
36、a
37、2＝x2＋y2或
38、a
39、＝.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离
40、AB
41、＝
42、
43、＝.6(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.“分解与组合”、“配方与平方”等．【自学检测】1．已知向量a＝(3,1)，b＝，若向量a＋λb与向量a垂直，则实数λ的值为________．2．已知单位向量a，b的夹角为120°，那么
44、2a－xb
45、(x∈R)的最小值是________．3．在等边三角形ABC中，点P在线段AB上，满足＝λ，若
46、·＝·，则实数λ＝________.4．已知
47、a
48、＝6，
49、b
50、＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影为________．5．如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则·＝________.6【合作释疑】向量的数量积【训练1】如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝6，点D在斜边BC上，且CD＝2DB，则·的值为________．【训练2】如图，在△ABC中，M是BC的中点，
51、
52、＝1，＝2，则·(＋)＝________.利用平面向量数量积求夹角与模【训练1】(1)已知a，b均为单位向量，若
53、a＋2b
54、＝，则向量a，b的夹角等于________．(2)设向量
55、a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若
56、a
57、＝1，则
58、a
59、2＋
60、b
61、2＋
62、c
63、2的值是________． 【训练2】已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且
64、b
65、＝2
66、a
67、，则向量a与c的夹角为________．利用数量积解决向量平行、垂直问题【训练1】已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．6(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．【训练2】已知平面内A，B，C三点在同一条
68、直线上，＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，且⊥，求实数m，n的值．平面向量数量积坐标表示及应用【训练1】(1)点M的边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则·的最大值是________．(2)(2011·辽宁卷改编)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则
69、a＋b－c
70、的最大值为________．【训练2】已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则
71、＋3
72、的最小值为________．6【当堂达标】1．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10
73、，则·＝________.2．已知向量a，b夹角为45°，且
74、a
75、＝1，
76、2a－b
77、＝，则
78、b
79、＝________.3在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC＝________.4．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.5．若平面向量α、β满足
80、α
81、＝1，
82、β
83、≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的取值范围是________．【课后作业】1．已知
84、a
85、＝1，
86、b
87、＝，若(a－b)⊥a，则向量a与b的夹角为________．2．已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(－sinA,1)，q＝
