高三数学复习专题24平面向量的概念及线性运算学案理苏科版

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1、学案24　平面向量的概念及线性运算【导学引领】（一）考点梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)，记作

2、

3、.(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(6)相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量

4、．规定零向量的相反向量仍是零向量．2．向量加法与减法运算(1)向量的加法：①定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．②法则：三角形法则；平行四边形法则．③运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．(2)向量的减法①定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．②法则：三角形法则．3．向量的数乘运算及其几何意义(1)实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：①

5、λa

6、＝

7、λ

8、

9、a

10、；②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ、μ∈R

11、，则：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.4．向量共线定理向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.【自学检测】1．(2012·苏北四市调研一)如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝6b，若＝2，则＝________(用向量a和b表示)．2.如图所示，在平行四边形ABCD中，则下列结论：①＝；②＋＝；③－＝；④＋＝0，其中正确的为________．3．设＝x＋y，且A，B，C三点共线(该直线不过端点O)，则x＋y＝________.4

12、.如图，在△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB上的中线它们交于点G，则下列等式中不正确的是________．①＝；②＝2；③＝；④＋＝.5．若平面内两个非零向量α，β满足

13、β

14、＝1，且α与β－α的夹角为135°，则

15、α

16、的取值范围为________．【合作释疑】考查平面向量的概念【训练1】设a，b是两个非零向量，下列正确的是________．①若

17、a＋b

18、＝

19、a

20、－

21、b

22、，则a⊥b；②若a⊥b，则

23、a＋b

24、＝

25、a

26、－

27、b

28、；③若

29、a＋b

30、＝

31、a

32、－

33、b

34、，则存在实数λ，使得b＝λa；④若存在实数λ，使得b＝λa，

35、则

36、a＋b

37、＝

38、a

39、－

40、b

41、.6【训练2】判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．(1)若向量a与b同向，且

42、a

43、＝

44、b

45、，则a＞b；(2)若

46、a

47、＝

48、b

49、，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)若

50、a

51、＝

52、b

53、，且a与b方向相同，则a＝b；(4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；(5)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量．考查平面向量的线性运算【训练1】(1)在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.(2)如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，

54、

55、＝1，则·＝

56、________.【训练2】　如图，以向量＝a，＝b为边作▱OADB，＝，＝，用a、b表示、、.6共线向量定理及其应用的考查【训练1】如图，在△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点，若＝x，＝y，试问：＋是否为定值？请证明你的结论．【训练2】设两个非零向量a与b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．【当堂达标】1.如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝________.2．已知两个非零向

57、量a，b满足

58、a＋b

59、＝

60、a－b

61、，则下面结论：①a∥b；②a⊥b；③

62、a

63、＝

64、b

65、；④a＋b＝a－b.正确的序号是________．3．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，

66、＋

67、＝

68、－

69、，则

70、

71、＝________.　64．在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，

72、a

73、＝1，

74、b

75、＝2，则用a，b表示为________．5．设A1、A2、A3、A4、A5是空间中给定的5个不同点，则使＋＋＋＋＝0成立的点M的个数为________．【课后作业】1．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－

76、(b－2a)共线，则λ＝________.2．设a、b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值是________．　3．在▱ABCD中，点E、F分别是CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.4．