[高等教育]第5章数理统计的基本知识

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1、第四节分布t分布F分布基本内容：1.三大抽样分布——分布、t分布、F分布；2.概率分布的分位点概念.2021/9/91定义1.设记作一、三大抽样分布(1)定义都服从标准相互独立,正态分布N(0,1),则随机变量2021/9/92其概率密度函数为密度函数图像：2021/9/93(2)分布的性质可加性:且则它们的和此性质推广至多个变量的情形.2021/9/94例1.解：因为X～N(0,3),所以由可加性得2021/9/95例2.解：由于又2021/9/962021/9/972.t分布定义2.设随机变量X与Y相互独立,且则随

2、机变量服从自由度为k的t分布,又称学生氏分布,记作2021/9/98其密度函数为t分布的密度函数图像：关于t=0对称；当n充分大时，其图像与标准正态分布密度图像相似.2021/9/99例3.解:2021/9/9102021/9/9113.F分布定义3.设随机变量X与Y相互独立,且则随机变量服从自由度为的F分布,记作(1)定义2021/9/912图像：2021/9/913例4.设随机变量X～N(2,1),令随机变量试求Z的分布。提示：2021/9/914(2)F分布的性质证明：2021/9/915二、分位点1.分位点的定义

3、对于随机变量(或总体)X和给定的注：2021/9/916例1.按分位点的定义知查表得同理得查表得解:2021/9/917问X分布的0.85分位点.例2.已知随机变量X,有P(X≤3.4)=0.15,解：由于P(X≤3.4)=0.15，于是P(X>3.4)=1-P(X≤3.4)=1-0.15=0.85.所以X分布的0.85分位点为3.4.2021/9/9182.常用分布的分位点定义1.2021/9/9192021/9/920解:经查表2(P285)得例3.2021/9/921(2)t分布的分位点定义2.2021/9/922

4、2021/9/9232021/9/924解:经查表3(P286)得例5.试求2021/9/925(3)F分布定义3.2021/9/9262021/9/927解:经查表4(P287)得解:例6.试求2021/9/928第五节正态总体统计量的分布基本内容：一、抽样分布——统计量的分布；二、正态总体下的抽样分布2021/9/929一、统计量的分布统计量是对样本信息的“加工”,由于样本是随机变量,故统计量有一定的概率分布.我们称统计量的分布为抽样分布.它依赖于样本,所以统计量也是随机变量,2021/9/930二、正态总体下的抽

5、样分布且有性质.设相互独立,都服从正态分布,则它们的线性组合也服从正态分布,其中为常数.2021/9/9311.单个正态总体下统计量的分布来自总体X的一个样本,定理1.则(1)样本均值2021/9/932(2)统计量(3)统计量标准化的样本均值2021/9/933定理2.(其中自由度减少一个，即n-1)2021/9/934它们受到一个条件的约束：减少一个自由度的原因：2021/9/935定理3.则统计量证明：由定理1和定理2知,2021/9/936(1)已知总体例1.从总体X中抽取容量为16的样本.解:则由定理1知:20

6、21/9/937查表得2021/9/938(2)由定理3知:2021/9/939查表得：2021/9/940例2.解:2021/9/941查表得2021/9/942所以解:2021/9/943查表得2021/9/9442.两个正态总体的统计量分布令X1,X2,…,Xnx来自总体X的样本,样本均值与样本方差分别为令Y1,Y2,…,Yny来自总体X的样本,样本均值与样本方差分别为2021/9/945则统计量定理1.2021/9/946推论.则统计量(两方差相同总体的统计量分布)2021/9/947定理2.则统计量2021/9

7、/948(2)统计量则(1)统计量定理3.2021/9/9491.熟悉三大抽样分布：2.了解分位点的概念，会查表计算；3.了解正态总体的某些常用统计量的分布.内容小结2021/9/950作业习题五.6,7.9,10.2021/9/951