[高等教育]概率论与数理统计第3讲

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1、概率论与数理统计第3讲本文件可从网址http://math.vip.sina.com上下载(单击ppt讲义后选择'概率论'子目录)1概率2每一个事件都有它的发生概率即给定事件A,存在着一个正数P与之对应,称之为事件A的概率,记作P(A)或P{A}.最高的发生概率为1,表示必然发生.最低的概率为0,表示不可能发生.而一般的随机事件的概率介于0与1之间.这里只是概率的数学上的规定,其实就是任何一个事件到实数轴上的[0,1]区间的映射.但怎样获得切合实际的一个事件的概率呢?3概率的统计定义概率的统计定义并非严格的数学上的定义,而只是大数定律的一个描述.在n次重

2、复试验中,如果事件A发生了m次,则m/n称为事件A发生的频率.同样若事件B发生了k次,则事件B发生的频率为k/n.如果A是必然事件,有m=n,即必然事件的频率是1,当然不可能事件的频率为0.如果A与B互不相容,则事件A+B的频率为(m+k)/n,它恰好等于两个事件的频率的和m/n+k/n,这称之为频率的可加性.4定义1.1在不变的条件下,重复进行n次试验,事件A发生的频率稳定地某一常数p附近摆动,且一般说来,n越大,摆动幅度越小,则称常数p为事件A的概率,记作P(A).但这不是概率的数学上的定义,而只是描述了一个大数定律.5历史上的掷硬币试验试验者抛掷次

3、数n正面出现次数m正面出现频率m/n德.摩尔根204810610.518蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.49986概率的稳定性是概率的经验基础但并不是说概率决定于经验.一个事件发生的概率完全决定于事件本身的结构,指试验条件,是先于试验而客观存在的.概率的统计定义仅仅指出了事件的概率是客观存在的,但并不能用这个定义计算P(A).实际上,人们是采取一次大量试验的频率或一系列频率的平均值作为P(A)的近似值的.例如,对一个妇产医院6年出生婴儿的调查中,可以看到

4、生男孩的频率是稳定的,约为0.5157新生儿性别统计表出生年份新生儿总数n新生儿分类数频率(%)男孩数m1女孩数m2男孩女孩197736701883178751.3148.69197842502177207351.2248.78197940552138191752.7347.27198058442955288950.5649.44198163443271307351.5648.44198272313722350951.4748.536年总计31394161461524851.4848.528概率的古典定义(概率的古典概型)有一类试验的特点是:1,每次试验

5、只有有限种可能的试验结果2,每次试验中,各基本事件出现的可能性完全相同.具这两个特点的试验称为古典概型试验.在古典概型的试验中,如果总共有n个可能的试验结果,因此每个基本事件发生的概率为1/n,如果事件A包含有m个基本事件,则事件A发生的概率则为m/n.9定义1.2若试验结果一共由n个基本事件E1,E2,…,En组成,并且这些事件的出现具有相同的可能性,而事件A由其中某m个基本事件E1,E2,…,Em组成,则事件A的概率可以用下式计算:10简单的例掷一枚硬币的试验,基本事件为正面和反面,而且由于硬币的对称性,因此出现正面和反面的概率一样,都是1/2.掷一

6、次骰子的试验,基本事件有6个,因此每个基本事件的概率为1/6,则P{奇数点}=3/6=1/2,P{小于3}=P{1,2}=2/6=1/3等等.11排列和组合在古典概型的概率的计算中困难的是计算一事件包含的基本事件的数目,因此需要排列和组合的知识.乘法法则:如果一件事情可以分为两步做,第一步有n种选择,在第一步中的每一种选择中,第二步有m种选择,则整件事情共有mn种选择12放回抽样假设一副牌有52张,将它们编号为1,2,…,52.每次抽出一张观察后再放回去(这样下一次这张牌仍有机会被抽到),这叫放回抽样.假设共抽了5次,共有多少种可能的抽法?第一次有52

7、种抽法,在第一次的每一种抽法中,第二次又有52种抽法,…,因此抽5次共有5252525252=525种抽法.一般地,从n个元素中进行m次放回抽样,则共有nm种抽法.13不放回抽样(排列)还是这52张牌,每次抽出一张,但不放回,则第二次抽时只有51张牌,第三次就只有50张牌.如果这样抽5次,就共有5251504948=52!/47!种抽法一般地,从N个元素中抽取n个(nN),共有14不放回抽样(组合)如果从N个元素中不放回抽样n个,但不关心其顺序,比如说(1,2,3)和(3,2,1),(2,3,1)被视作一样,则称为组合,因此,组合的数目

8、要比排列的数目小n!倍,记作15书上例1袋内装有5个白球,3个黑球,从中任两个球