数理统计的基本知识.ppt

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1、第六章数理统计的基本知识数理统计是以概率论为基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象．通过统计分析，对研究对象的客观规律性作出合理的估计和推断．第一节总体与样本在一个统计问题中，我们把所研究对象的全体称为一个总体．总体中的每个元素(即每一个研究对象)称为个体．若总体中包含有限个个体，则称这个总体为有限总体，否则称为无限总体，总体中所包含的个体总数称为总体容量．在统计问题中，人们所关心的往往不是总体的一切方面，而是它的某一项数量指标X．因此，我们把这个数量指标X所有可能取值的全体就作为总体看待，称为总体X，X是一个随机变量．我们要根据试验或观察得到的数据来得

2、到X的概率分布和数字特征，分别称为总体的分布和数字特征．大家知道，随机现象的统计规律性必然在大量的重复试验中呈现出来,为了推断总体X的性质，从理论上讲，应该对每个个体逐一进行测试，然而实际上这样做往往是不现实的，例如，要研究灯泡寿命，由于寿命测试是破坏性的，当测试过每只灯炮的寿命后，这批灯泡就报废了．一般来说，恰当的方法是按一定的规则从总体中抽取若干个个体进行测试，为了使测试到的数据能很好地反映总体的情况，当然应该要求总体中每一个个体被抽到的可能性是均等的．并且在抽取一个个体后总体的成分不改变．这种抽取个体的方法称为简单随机抽样．被抽出的部分个体，叫做总体的一个

3、样本．假设我们从总体X中抽取n个个体进行测试(简单抽样)，把测试结果分别记作X1，X2，…,Xn．由于抽样的随机性，Xi可以取X所有可能的值，是与X具有相同分布的随机变量，且X1，X2，…，Xn相互独立．这样的n个个体称为总体X的一个简单随机样本．定义设X是具有某一概率分布的随机变量(看作一个总体)．如果随机变量X1，X2，…,Xn相互独立，且都与X具有相同的概率分布,则称n维随机变量(X1，X2，…，Xn)为来自总体X的简单随机样本，简称样本，n称为样本容量．在对总体X进行一次具体的抽样并作观测之后，得到样本(X1，X2，…，Xn)的确切的数值(x1，x2，…

4、，xn)，称为一个样本观测值(观察值)，简称样本值．样本(X1，X2，…，Xn)所有可能取值的全体称为样本空间，它是n维空间或其中的一个子集．样本观察值(x1，x2，…，xn)是样本空间中的一个点．如果总体X的分布函数为F(x)，则X的样本X1，X2，…，Xn的联合分布函数为.如果总体X为连续型且概率密度为f(x)，则样本(X1，X2，…，Xn)的联合概率密度为．第二节统计量及其分布一、统计量样本是总体的代表，是统计推断的依据．在应用时，往往不是直接使用样本本身，而是针对不同的问题构造样本的函数，来进行统计推断．定义1设(X1，X2，…，Xn)是来自总体X的一个

5、样本，t=g(t1,t2,…,tn)为t1,t2,…,tn的一个单值实函数，并且其中不包含任何未知参数，则称T=g(X1,X2,…,Xn)为一个统计量．设x1,x2,…,xn是相应于样本X1,X2,…,Xn的样本值，则称g(x1，x2，…,xn)是统计量T=g(X1,X2,…,Xn)的观察值．二、样本矩下面给出几个常用的统计量．设(X1，X2，…，Xn)是来自总体X的一个样本，(x1，x2，…，xn)是样本观察值，定义:样本均值．样本分差.样本标准差（均方差）．样本k阶(原点)矩（k=1，2，…).样本k阶中心矩（k=1，2，…).显然，．它们的观察值分别为,,

6、,,.三、顺序统计量定义2(X1，X2，…，Xn)是总体X的一个样本，(x1，x2，…，xn)是一个样本观察值，将它由小到大的顺序排列，得到x(1)≤x(2)≤…≤x(n)，取x(i)作为X(i)的观测值，由此得到的统计量X(1)，X(2)，…，X(n)称为样本(X1，X2，…，Xn)的一组顺序统计量，X(i)称为第i个顺序统计量或第i项．统计量Rn=x(n)－x(1)分别称为样本中位数和样本极差．样本均值、顺序统计量的首项及末项、样本中位数描述了样本在数轴上的大致位置；样本方差与样本极差描述了样本的分散程度．第三节样本分布函数与频率直方图一、样本分布函数样本能

7、够反映总体X的信息，总体X的分布函数F(x)是否能由样本来“表示”？回答是肯定的，我们用下面介绍的样本函数来近似表示总体X的分布函数．定义设x(1)，x(2)，…，x(n)是总体X的顺序统计量的一组观察值，对于任意的实数x，定义函数称Fn(x)为总体X的样本分布函数(或经验分布函数)．样本分布函数Fn(x)不仅与样本容量n有关,还与所得到的样本观察值有关，故它是随机变量．Fn(x)的图形(图6-1)呈跳跃上升的台阶状,在x(1)，x(2)，…，x(n)中的不重复的值处，跳跃高度为；在重复l次的值处，跳跃高度为．图6-1中的曲线是总体X的理论分布函数F(x)的图形

8、．图6-1样本分布函数F