2018届高考数学黄金考点精析精训考点22立体几何的综合问题文

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1、考点22立体几何的综合问题【考点剖析】1.最新考试说明：（1）能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.（2）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.（3）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.2.命题方向预测：纵观近五年的高考命题，文科立体几何高考命题的热点主要有四个．一是以考查点、线、面的位置关系为主的简单题，基本题型为选择题或填空题；二是以考查三视图与面积体积计算为主的简单题，基本题型为选择题或填空题；三是以考查

2、平行、垂直关系为主的中档题，其基本题型为解答（证明）题，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力；四是以考查平行、垂直关系及面积或体积计算为主的中档题，“证算并重”考查逻辑推理能力、空间想象能力以及运算求解能力．关于垂直关系的证明多于平行关系的证明，体积计算的考查多于面积计算的考查，较少涉及角或距离的计算.3.考点交汇展示：(1)立体几何与最值交汇【2018届广东省茂名市高三五大联盟学校9月联考】在长方体中，，，，点在平面内运动，则线段的最小值为()A.B.C.D.【答案】C（2）立体几何与基本不等式交汇【2018届河南省长葛一高高三上学期开学】已知多面

3、体的每个顶点都在球的表面上，四边形为正方形，，且在平面内的射影分别为，若的面积为2，则球的表面积的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【考点分类】热点1立体几何与球有关的最值问题1.【2018届河南省八市重点高中高三9月测评】三棱锥的一条长为，其余棱长均为，当三棱锥的体积最大时，它的外接球的表面积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】不妨设底面积不变，高最大时体积最大，所以，面ACD与面ABD垂直时体积最大，由于四面体的一条棱长为a，其余棱长均为1，所以球心在两个正三角形的重心的垂线的交点，半径；经过这个四面体所有顶点的球的表面积为：S=；故选

4、A．2.【2018届河南省洛阳市高三期中】已知菱形边长为2，，将沿对角线翻折形成四面体，当四面体的体积最大时，它的外接球的表面积为__________．【答案】【方法规律】(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．（3）立体几何中的最值问题，往往要考虑点

5、线面位置的“极端情况”.【解题技巧】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.热点2空间平行、垂直关系与几何体的体积问题1.【2017届云南省师范大学附属中学高考适应性月考（八）】如图，矩形（），被截去一角（即），，，平面平面，.（1）求五棱锥的体积的最大值；（2）在（1）的情况下，证明：.【答案】（1）（2）见解析

6、试题解析：（Ⅰ）解：因为，，所以，，所以截去的是等腰直角三角形，所以．如图3，过作，垂足为，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，为五棱锥的高．在平面内，，在以为焦点，长轴长为的椭圆上，由椭圆的简单的几何性质知：点为短轴端点时，到的距离最大，此时，，（指出即可，未说明理由不扣分）所以，所以．2.【2017届湖南省浏阳一中高三6月】如图，正三棱柱中，为中点，为上的一点，.（1）若平面，求证：.（2）平面将棱柱分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为，下面一个几何体的体积为，求.【答案】（1）证明过程见解析；（2）【解析】试题分析：(1)由题意可得

7、四点在同一个平面上，则易知.(2)由题意转化顶点可求得棱锥的体积，.试题解析：（1）如图，取中点，连接.棱柱为正三棱柱，为正三角形，侧棱两两平行且都垂直于平面.，平面，，平面，平面，，四点在同一个平面上.平面，平面，平面平面，，，，为中点，即.（2）正三棱柱的底面积，则体积.下面一个几何体为四棱锥，底面积，因为平面平面，过点作边上的高线，由平面与平面垂直的性质可得此高线垂直于平面，故四棱锥的高，则，从而.【方法规律】(1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的

8、几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台