2018届高考数学 黄金考点精析精训 考点17 数列的求和及综合应用 文

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1、考点17列的求和及综合应用【考点剖析】1．最新考试说明：①理解等差数列、等比数列的概念.②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.2．命题方向预测：考查数列的求和方法，以等差数列、等比数列的求和公式为基础，重点考查“错位相减法”“裂项相消法”等求和方法，在此基础上将数列与函数方程、不等式、解析几何等结合结合考查，难度在中等偏上．3．课本结论总结：（1）等差数列的前和的求和公式：.（2）等比数列前项和公式一般地，设等比数列的前项和是，当时，

2、或；当时，（错位相减法）.（3）数列前项和①重要公式：（1）（2）（3）（4）②等差数列中，；③等比数列中，.（4）解答数列实际应用题的基本步骤：①审题——仔细阅读材料，认真理解题意；②建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题．分清该数列是等差数列还是等比数列，是求通项还是求前n项和；③求解——求出该问题的数学解；④还原——将所求结果还原到原实际问题中．具体解题步骤如下框图：（2）数列实际应用问题的常见模型有①等差模型；②等比模型；③混合模型；④生长模型；⑤递推模型．用数列知识解相关的实际问题，关键是弄清所构造的数列的首项是什么，项数是多少，然后结合数

3、列相关知识求解．4．名师二级结论：1）公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.2）倒序相加法：类似于等差数列的前项和的公式的推导方法，如果一个数列的前项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式即是用此法推导的．3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前项

4、和公式就是用此法推导的．若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令，则两式错位相减并整理即得.4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：（1），特别地当时，；（2），特别地当时，；（3）（4）（5）5．）分组转化求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可

5、分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.6）并项求和法：一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解．例如，.7）在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．对于不能由等差数列、等比数列的前n项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和．应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式．使

6、用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式．8）[易错提示]　利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面：(1)裂项过程中易忽视常数，如容易误裂为，漏掉前面的系数；(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误．应用错位相减法求和时需注意：①给数列和Sn的等式两

7、边所乘的常数应不为零，否则需讨论；②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n.5．课本经典习题：(1)新课标人教A版第45页，例4已知等差数列的前项和为，求使得最大的序号的值．【经典理由】很多高考试题，或是这道题的改编、变式，或是其延伸、拓展．变式题1．已知是各项不为零的等差数列，其中，公差，若,求数列前项和的最大值．【解析】，所以，即数列前5项和为最大值．变式题2．在等差数列中，，，求的最大值．【解法一】由，得：，解得．．由二次函数的性质，当时，有最大值169．(2)新课标人