抽样z变换频率抽样理论

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1、第六节抽样z变换频率抽样理论我们将先阐明：（1）z变换与DFT的关系（抽样z变换），在此基础上引出抽样z变换的概念，并进一步深入讨论频域抽样不失真条件。（2）频域抽样理论（频域抽样不失真条件）（3)频域内插公式一、z变换与DFT关系（1）引入连续傅里叶变换引出离散傅里叶变换定义式。离散傅里叶变换看作是序列的傅里叶变换在频域再抽样后的变换对.在Z变换与L变换中,又可了解到序列的傅里叶变换就是单位圆上的Z变换.所以对序列的傅里叶变换进行频域抽样时,自然可以看作是对单位圆上的Z变换进行抽样.(2)推导Z变换的定义式(正变换)重写如下:取z=ejw代入定义式,得到单位圆上Z变换为w是单位圆上各点

2、的数字角频率.再进行抽样--N等分.这样w=2kπ/N,即w值为0,2π/N,4π/N,6π/N…,考虑到x(n)是N点有限长序列,因而n只需0~N-1即可。将w=2kπ/N代入并改变上下限,得则这正是离散傅里叶变换(DFT)正变换定义式.(3)结论1从以上推导中可看出,有限长序列x(n)的离散傅里叶变换X(k)序列的各点值等于对x(n)进行Z变换后在单位圆上N等分抽样的各点处所得的Z变换值,即这就是Z变换与DFT的关系.(4)结论2有限长序列补零加长N增加,求其DFT。发现频谱包络不变,只是抽样点更密.原因:即N补零加长并不改变有限长序列本身,因而其Z变换不变,而只是增加了N值。根据每个X

3、(k)仍等于X0(ejw)这一包络.由于0≤k≤N-1,X(k)值的个数增加了,谱线变密.二、频率抽样理论（频域抽样不失真条件）（1）问题引入由Z变换与DFT的关系,知道：x(n)的离散傅里叶变换X(k)序列值和x(n)的Z变换在单位圆N个等分点上的抽样值相等,这就是说实现了频域的抽样。便于计算机计算而提出的.是否任何一序列(或说任何一个频率特性)都能用频域抽样的办法去逼近呢?其限制条件是什么?（2）分析将x(n)的频域函数X(ejw)，按每周期N点抽样，得到一周期序列,再反变换回时域,得到变换结果,是一周期延拓的序列,且与原序列x(n)有如下关系即频域按每周期N点抽样,时域便按N点周期

4、延拓.此结果符合频域抽样,时域周期延拓的说法.（3）结论长度为M的有限长序列,频域抽样不失真的条件：频域抽样点数N要大于或等于序列长度M,即满足N≥M.此时可得到表明长度为N(或小于N)的有限长序列可用它的z变换在单位圆上的N个均分点上的抽样值精确地表示.（4）抽样后序列能否无失真恢复原时域信号（5）注意点DFT变换对的一一对应关系也是由此而得到保证的.实际上,在我们从连续傅里叶变换引出DFT时,也只有按此条件对频域进行抽样,才能在最后正确导出DFT变换对定义式.（6）例子--1频域抽样：看一个矩形序列，频域抽样是指对时域已是离散，频域仍是连续信号。现在频域上进行抽样处理，使其频域也离散化。

5、（6）例子--2解：频域抽样，按N=5点，频域抽样，时域延拓相加……,时域延拓的周期个数等于频域的抽样点数N=5，由于N=M，所以时域延拓恰好无混叠现象。（6）例子--3按N=4时进行抽样，由于N=4，而序列长度为M=5，N

6、插公式（2）内插函数（3）频域响应的内插公式(4)频域响应的内插函数(5)说明从公式中看出:在每个抽样点上X(ejw)就精确地等于X(k)(因为其他的内插函数在这一点上的值为零,无影响),即各抽样点之间的X(ejw)值,则由各抽样点的加权内插函数在所求点上的值的叠加而得到.频率响应的内插函数具有线性相位.第七节DFT的应用一、引言FT及FFT在数字滤波、功率谱分析、仿真、系统分析、通讯理论方面有广泛的应用。归结起来,有两个大方面,一是计算线性卷积、线性相关；二是用DFT(FFT)作为连续傅里叶变换的近似.FFT并不是什么新的变换,只是DFT在计算机上的一种高速算法，虽实际中广泛使用的是FFT

7、,但其应用的理论基础仍是DFT.通过考察计算线性卷积(相关)和连续傅里叶逼近这两种DFT应用,就可以说我们建立了一般FFT应用的基本理论基础.二、应用方面1、采用DFT办法求解线性卷积。2、采用DFT逼近连续时间信号的傅里叶变换(级数)三、采用DFT办法求解线性卷积（1）引入时域圆周卷积,频域是两序列的DFT相乘.时频两域的转换(即DFT及IDFT)有快速傅里叶变换(FFT)算法.所以利用圆周卷积定理计算圆