信号与系统课件-第三章33频率抽样理论

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1、§3.3频率抽样理论时间(频率)函数抽样频率(时间)函数周期化导致对Z变换在单位圆上等间隔抽样—即对抽样，频率抽样点数为N，则：的离散傅立叶级数的主值序列，即由DFT和DFS的关系知，是以N为周期的周期延拓序列一，频域采样定理∵时域无混叠由N个可以恢复得到X(z)若M>N时域混叠故：NM为频率抽样（不失真）条件若MN所以可见，在单位圆上的N点等间隔采样的IDFT是原序列以N为周期的周期延拓序列的主值序列。频域采样定理：如果序列长度为M，表示在区间[0，2π]上对的N点等间隔采样.则只有当时，才能由X(k)恢复出和，否则产生时域混叠现象。且二，

2、内插函数通过内插函数恢复出或频率抽样内插（恢复）设序列长度为M，在频域0～2π之间等间隔采样N点，∴内插函数其中内插公式（其中）1.内插函数是连续函数例如：N=4时，图示如右╳1•k=0•╳k=1•╳k=2•╳k=32.相应的系数：即样本值（原来的抽样点正好是插值点）把代入其中小结：§3.4DFT的应用举例3.4.1用DFT计算线性卷积一，用DFT计算循环卷积如果L且由时域循环卷积定理有下图为用DFT计算循环卷积的框图DFTDFTIDFTL二，线性卷积和循环卷积的关系及循环卷积与线性卷积相等的条件和都是有限长序列，长度分别是N1和N2，线性

3、卷积循环卷积N因为所以等于以N为周期的周期延拓序列的主值序列N1+N2－1点N点只有当时，以N为周期进行周期延拓才无混叠现象此时取其主值序列满足结论：例：0123n••••123n012•11••线性卷积n012345••••163••53n-2-10•11••••0123n•••64•53循环卷积④n01234•••163••53循环卷积⑤循环卷积⑥满足的n012345••••163••53三，利用DFT求线性卷积和实际上，直接作线性卷积有时很麻烦，但用DFT计算就方便（尤其还有DFT的快速运算法:FFT）四，当输入长序列信号时，如何利用DFT求

4、系统的输出x(n)y(n)h(n)N点M点若输入序列x(n)的宽度N很大，而h(n)的宽度不太大直接对整个长序列x(n)作DFT的话，运算工作量很大（∵N很大）为此，将长序列分段计算，分段处理有重叠相加法和重叠保留法两种。NDFTDFTIDFTN点N点N点点点补N－N1个零补N－N2个零1,重叠相加法LLLLLLLn……M-1将x(n)的每个小段都延长M-1,并补以0…M-1…M-1卷积长度为L+M-1各段相加，即为输出（包括交迭部分相加）假设将x(n)的宽度N均匀分成P段:N=PL，h(n)的长度是M重叠相加法步骤：1将x(n)分段，段长M与N近

5、似：2将各分段数据xk(n)和h(n)补零到L=N+M-1点，即xk(n)补N-1点零，h(n)补M-1点零；3求各分段数据xk(n)的DFT：Xk(k)；4将各分段数据的DFTXk(k)与事先算好的系统脉冲响应h(n)的DFTH(k)逐点相乘：5对Yk(k)用FFT求其IDFT，得到各分段数据的卷积：6将各个yk(n)相加，重叠部分逐点相加，即得到最终的卷积结果序列y(n)。M-1个补0••••••••••••10L-132••••••0-M+1•••••-1重叠相加法2,重叠保留法LLLLLLn…M-1每个小段延长M-1,补以下一小段起始数据M

6、-1M-1卷积长度仍为L+M-1M-1M-1除去每段输出起始的[0,M-2]部分后，各段衔接相加，即为输出••••••••••••1032••••••••••L-1k+1x(n)起始的M-1个重叠保留法重叠保留法（OverlapSaveMethod）在重叠相加法中若在实现快速卷积时各分段补零的部分不是补零，而是保存原序列中的数据，这样来求得卷积的方法称为“重叠保留法”。重叠保留法的处理过程为：1先将x(n)分解成：其分段情况可如下图说明。L-(N-1)L-1L-1L-12算出：3抛弃yk(n)的前N-1个卷积混淆点，如后图所示；4将各个yk(n)顺

7、序连接起来，即得到最终的卷积结果序列y(n)。L-1L-1L-1N-13.4.2用DFT对信号进行谱分析一，用DFT对连续信号进行谱分析信号时间宽度与带宽的制约关系：若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；若频谱有限宽，则持续时间无限长。严格讲，持续时间有限的带限信号是不存在的。对于频谱很宽的信号预滤波使连续信号带宽小于折叠频率对持续时间很长的信号截取截取幅度很小的部分时间信号以下分析假设是经过预滤波和截取处理的有限带限信号所以，用DFT对连续信号进行谱分析必然是近似的。分析过程：对进行时域采样，得到，再对进行DFT，得到的X(k)是x(n)的傅立叶

8、变换在频率区间[0,2π]上的N点等间隔采样。1、设连续的持续时间为Tp，最高频率为fc，其傅立叶变换为对以采样间隔T采样