数据拟合和最佳平方逼近

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1、1结束本章讨论如何用函数y(x)逼近函数f(x)时，使其整体误差达到最小．整体误差有各种定义，其中常用的有误差的各种范数．下面介绍有关的数学概念：第一章数据拟合和最佳平方逼近§1.1拟合和逼近的概念函数逼近是用较简单的函数y(x)近似代替函数f(x)．如果函数是连续函数f(x)，通常就称为函数逼近，如果f(x)是一个离散的数表，则常称为数据拟合．2结束定义1.1对离散的和,称为f和g的内积．这是我们已经知道的向量内积．对连续的f(x)和g(x)，有：定义1.1*设,称为f(x)和g(x)在[a,b]上的内积.定义1.2的范数定义3结束定义1.2*f(x)C[a,b]在[a,b]上的范数

2、定义为其中最小二乘法则算法最简单也最常用，当f(x)是离散数据时，称为最小二乘拟合；当f(x)是连续函数时，称为最佳平方逼近．定义1.3定义误差函数，若构造y(x)使　，称最小一乘法则；使　，称最小二乘法则；使　，称最佳一致逼近．4结束§1.2数据拟合现寻求一个函数y(x)来逼近数据使其在节点xi处的整体误差能达到最小．设函数f(x)是一组数据1.2.1最小二乘函数拟合定义1.4对f(x)的一组数据，若存在函数使则称y(x)为f(x)在函数类m中的最小二乘逼近函数．定理1.1最小二乘逼近函数存在且惟一．5结束证记由多元函数极值的必要条件有定义m+1元函数则有方程组其中6结束称方程组(7

3、.2)为正规方程(法方程，正则方程)，写成矩阵形式有当线性无关时，方程组(7.3)的系数的行列式不等于0，方程组有一组惟一的解有7结束由(7.2)式有数据拟合的余项8结束为不超过m次的多项式集合，此时1.2.2多项式拟合(例子)数据拟合最简单最常用的情况是用多项式函数作数据拟合.记9结束正规方程为10结束有时也简记为其中求解此方程组就可得到最小二乘拟合多项式ym(x).11结束利用最小二乘法求该组数据的多项式拟合曲线例1.1设有如下数据x1345678910f(x)1054211234解将表中的数据点描绘在坐标纸上，可以看出这些点近似为一条抛物线．故拟合曲线可取为12结束i1110111

4、101023592781154534416642561664452251256251050561362161296636671493432401749782645124096112889381729656127243910410010001000040400求和53323813017253171471025xiyixi2xi3xi4xiyixi2yi按如下表格计算比较方便13结束拟合效果见图7－1正规方程组为解之得a0=13.4597,a1=－3.6053,a2=0.2676二次多项式拟合曲线方程为14结束00.250.500.751.001.00001.2840.1.64872.117

5、02.7183例1.2设有数据,求其拟合多项式．i101.00000000020.251.28400.06250.01560.00390.32100.080330.501.64870.25000.12500.06250.82440.412240.752.11700.56250.42190.31641.58781.190851.002.71831.00001.00001.00002.71832.7183求和2.58.76801.87501.56251.38285.45154.4016解：表格计算xiyixi2xi3xi4xiyixi2yi15结束(1)先求一次拟合多项式，正规方程为解之有a

6、0=0.8997,a1=1.7078拟合多项式为平方误差16结束(2)求二次拟合多项式，正规方程组为解之得a0=1.0051,a1=0.8643,a2=0.8435平方误差拟合曲线方程为可见用y2(x)作多项式拟合的曲线的效果已相当好.17结束某些数据可作适当的变换，转化为线性拟合问题．如表所示18结束§1.3最佳平方逼近1.3.1函数的最佳平方逼近定义1.5设，若存在则称*是f(x)在中的最佳平方逼近函数.与定理1.1类似，可以证明,使定理1.2f(x)在中的最佳平方逼近函数*存在且惟一．也有19结束解之可得到，构造得到的使也有余项表达式1.3.2最佳平方逼近多项式本章只讨论[

7、0,1]区间上的最佳平方逼近多项式,对一般区间[a,b]上的函数f(x),可作变换,化为再作逼近处理．这样可减少积分运算．则20结束此时，正规方程的系数矩阵为这是一个Hilbert矩阵，可不作积分直接写出．21结束例1.4求在[0,1]上的一次和二次最佳平方逼近多项式．解一次多项式逼近时,正规方程为解之，有最佳一次平方逼近多项式为余项22结束二次多项式逼近时,正规方程为解之，有最佳二次平方逼近多项式为余项23结束最佳一次平方逼近多项