最佳平方逼近与最小二乘拟合

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1、最佳平方逼近与最小二乘拟合——两者的区别与联系函数逼近是用一个多项式无限接近原函数，而拟合是将函数中的元素联系起来。也就是说，最佳平方逼近是针对函数，最小二乘法是针对离散的点，二者在形式上基本一致。另外，最小二乘拟合也称为离散型最佳平方逼近，两者的解法有很多相似之处。一、函数的最佳平方逼近（一）最佳平方逼近函数的概念对及中的一个子集，若存在，使，则称是在子集中的最佳平方逼近函数。（二）最佳平方逼近函数的解法为了求，由可知，一般的最佳平方逼近问题等价于求多元函数的最小值问题。由于是关于的二次函数，利用多元函数极值的必要条件，即，于是有。是关于的线性方程组

2、，称其为法方程。由于线性无关，故系数行列式，于是方程组有唯一解，从而得到。就是中的最佳平方逼近函数。（三）最佳平方逼近函数所产生的误差若令，则平方误差为：。取，即要在中求n次最佳平方逼近多项式，此时，若用H表示行列式对应的矩阵，则，H称为Hilbert矩阵，记其中则方程的解即为所求。注意：最佳平方逼近误差越小说明函数空间Hn对f(x)的逼近效果越好。一、曲线拟合的最小二乘法（一）最小二乘逼近的概念对于给定的一组数据，要求在函数空间中找一个函数，使误差平方和，这里。这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言来说，就称为曲线拟合的最小二乘法。（二）最小二乘法的

3、解法用最小二乘法求拟合曲线的问题，就是在形如：的中求一函数，使取得最小。它转化为求多元函数的极小点问题。由求多元函数极值的必要条件，有。若记，则，可改写为，此方程叫法方程。它也可写成矩阵形式。其中，由于线性无关，故，方程组存在唯一的解，从而得到函数的最小二乘解为。可以证明，这样得到的对于任何形如的，都有，故确是所求最小二乘解。（三）最小二乘逼近函数所产生的误差误差平方和：注：误差平方越小，说明拟合效果越好。例题3.5已知一组实验数据如下表所示，求它的拟合曲线。1234544.5688.521311解：在坐标纸上标出所给数据，如图所示。从图可看到，各点分

4、布在一条直线附近，故可选择线性函数。令，这里故由得方程组解得于是所求拟合曲线为例题3.6在某化学反应过程中，根据实验所得生产物的质量分数与时间的关系如下表所示，求质量分数y与时间t的拟合曲线t/min12345678y4.006.408.008.809.229.509.709.86t/min910111213141516y10.0010.2010.3210.4210.5010.5510.5810.60解：将所给数据标在坐标纸上，如图所示。可以看到，质量分数开始时增加较快，后来逐渐减慢，到一定时间就基本稳定在一个水平上，即当时，y趋于某个数，故有一水平渐

5、近线。另外，t=0时，反应未开始，质量分数为零。根据这些特点，可设想是双曲线型，即。它与给定豆数据的规律大致符合。为了确定a，b，令，于是可用x的线性函数拟合数据，由原始数据根据变换计算出来，解方程组得从而得到=其误差为由上图，符合给定数据的函数还可选为指数形式。此时可令拟合曲线如。显然，当时，；当时，若，则，且t增加时y增加。这些与给出数据规律相同。为了确定a与b，对上式两端取对数，得。令，于是由计算出，拟合数据的曲线仍为。上述方法计算出，从而，最后求得，误差为均方误差为由此可知，及都比较小，所以用作拟合曲线比较好。补充例题：1111100.250.

6、500.7510.100.350.811.091.96用多项式拟合5个点解：其中即：最终所求多项式与给定五个点的图象如下