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1、第1.3章固体能带论基础“能带理论”:是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础。在量子力学运动规律确立以后，用量子力学研究金属电导理论的过程中开始发展起来的。定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性特点。如在能带论基础上，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别，晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子间的间距等。正在这个时候，半导体开始在技术上应用，能带论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有力地推动了半导体技术的发展。正是能带论，导致了电子科学与技术学科的形成和发展。“能带理论”:是一个近似的理论。在固体中存在着大量的电子，它们的运动是相互关联着的，每个电子的运动都要受其它电子运动的牵连，
2、这种多电子系统严格的解显然是不可能的。“能带理论”:是单电子近似的理论，就是把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。在大多数情况下，最关心的是价电子，在原子结合成固体的过程中价电子的运动状态发生了很大的变化，而内层电子的变化比较小，可以把原子核和内层电子近似看成是一个离子实。这样，价电子的等效势场，包括离子实的势场，其它价电子的平均势场以及考虑电子波函数反对称而带来的交换作用。单电子近似最早用于研究多电子原子，又称为哈特里-福克(Hartree-Fuck)自洽场方法。复杂的多体问题大量离子和电子彼此相互作用组成系统简化绝热近似认为离子与电子不交换能量多电子问题单电子问题一、量
3、子力学处理晶体中电子问题的思路简化自洽场法考虑其余电子的平均场作用电子云重叠：相邻原子的电子云重叠，重叠区域中出现的电子不能简单归属于某一特定母核，属于相邻原子或整个晶体共有。——电子共有化晶体中电子的状态晶体是由大量原子有规则地排列形成的,晶体中包含着大量的离子,如正离子和电子,它们之间存在着相互作用。各离子的库仑势场迭加形成周期势场，这个势场是由一系列势垒组成的。隧道效应：离子实单个正离子的库仑势各库仑势叠加成的周期势离子实单个正离子的库仑势各库仑势叠加成的周期势各离子的库仑势场迭加形成周期势场，这个势场是由一系列势垒组成的。根据势垒贯穿理论，某个原子的价电子由于隧道效应可以穿透势垒
4、而进入另一个原子，这样，价电子就不再分别属于单个原子了，而被整个晶体的原子所共有，这就是价电子的共有化。电子共有化是一种量子效应。通常所说的自由电子就是指共有化电子。二、固体中电子波函数-布洛赫定理实际上,电子是在规则排列的离子形成的周期势场中运动.考虑到周期势场的作用,伴随电子运动的概率波将会遭遇周期势垒的反射,电子运动的波函数不可能是严格的势阱中的自由电子波.1928年量子力学刚建立,布洛赫(Bloch)根据势函数的周期性,一般地证明一维晶体中电子波函数应具有以下特殊形式:是周期等于晶格常数的周期函数这一结果称为布洛赫定理金属自由电子模型,把电子的运动看成是在离子正电荷背景下自由运动
5、,用平面波描述.证明布洛赫定理势场具有周期结构,则电子概率密度具有相同的周期性,即则:,可以是任意实参数,这里就直接取为波数.其中,可以取于是有用乘两边,得到这表示是变量的周期函数,周期为得:定理得证布洛赫定理表明:在周期势场中运动的电子波函数为自由电子波函数,乘上一个和晶体结构有相同周期的周期函数.这反映了晶体中的电子既具有为整个晶体共有化的倾向,又具有受到周期势限制的特点。布洛赫定理将在求解电子在周期势场中运动的薛定谔方程中用到。三、晶体中电子运动的薛定谔方程和求解势能函数：克朗尼克—潘纳模型(Kronig-Penney),由方势阱、方势垒周期排列组成的周期势去近似一维晶体中实际作用
6、于电子的周期势。近似是势阱宽度，是势垒宽度，是与晶格常数相应的势的周期，是势垒高度。在区间，势函数：周期势函数可表示为：xUoc方程在各自区域的一般解分别为:是任意组合系数,是待定常数,可以由势场突变点波函数及其一阶导数连续条件确定.这些条件等价于要求在突变点连续.即四个常数应满足下列四个方程其中xUoc将表示式代入四个方程,得到关于的线性齐次方程组,有非零解的条件是系数行列式等于零.将系数行列式化简,可以得到依赖能量,上述方程就是晶体中电子能量本征值的方程.原则上,解这个方程就可得到电子能量本征值,代入前面的方程,解出就可求出相应的波函数.下面我们更关心的是电子能量的可能取值.可得:注
7、意到是实数,有:这表明,只有一定范围内的能量取值才是允许的,这就形成了所谓能带结构.四、能带结构是个超越方程,通过直接求解它说明具体的能带结构十分困难.考虑上述周期势的一种极限情况:假设势垒宽度趋于零,势垒高度趋于无限大,但仍保持有限的情况,在这种情况下,可令在此极限条件下,从而可以用做图法确定能量的取值范围.首先做出函数的曲线因而能量取值受到限制可能取值范围:黑线只能在一些离散区间上取值,也就是说,允许值被不允许值的区间分隔为一段
