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《孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.4能带结构的其它计算方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.4能带结构的其它计算方法本节主要内容:二、正交化平面波(Orthogonalizedplane-wave)方法和赝势(pseudopotential)法一、平面波法(plane-wavemethod)三、缀加平面波法(Augmentedplane-wavemethod；APW)不同能带计算方法的主要区别在于两个方面：a.采用不同的函数集来展开晶体波函数；(典型代表：正交化平面波法—OPW法)b.根据研究对象的物理性质对晶体势作合理的、有效的近似处理；(典型代表：赝势方法—PP法)不同能带计算方法的出发点就是晶体
2、中单电子的薛定谔方程：势场具有晶格的平移对称性。3.4能带结构的其它计算方法包括离子实产生的势场以及所有其它电子产生的平均库仑势场。1.其它电子产生的平均库仑势场：是处于态的电子对处电子数密度的贡献。2.哈特利—福克(Hartree—Fock)近似借助平均库仑势将多电子问题转化为单电子问题的方法称为哈特利(Hartree)近似。电子系统的基态波函数是归一化的单电子波函数的乘积，即对于薛定谔方程：哈特利近似中，只包含位置坐标，没有包含自旋变量。即没有考虑全同费米子波函数交换粒子应满足的反对称性。如果考虑自旋变量,就要
3、使单电子波函数的乘积满足交换反对称性—福克(Fock)近似,或称为哈特利—福克(Hartree—Fock)近似,此时,单电子势中除库仑项外,还要增加一个交换项.(参见谢希德、陆栋主编的《固体能带理论》P4-8);其波函数可以写成：3.密度泛函理论(densityfunctionaltheory)该理论是对哈特利—福克(Hartree—Fock)近似,亦即将多电子问题化为单电子问题的更严格、更精确的描述.(具体内容可参考谢希德、陆栋主编的《固体能带理论》17）.在密度泛函理论基础之上的局域密度近似(localdens
4、ityapproximation,简称为LDFT)框架下的计算,在大多数情况下能得到较好的结果。密度泛函理论的基础是非均匀相互作用电子系统的基态能量由基态电荷密度唯一确定,是基态电子密度的泛函.阎守胜书P287(12.1.3)给出了证明;同时给出了当电子密度的空间变化缓慢时,由局域密度近似得到的单电子薛定谔方程.局域密度近似得到的单电子薛定谔方程：关联势(correlationpotential)交换势(exchangepotential)其中电子密度,求和对所有占据态进行。交换能一般可取为：关联能是在库仑相互作用
5、电子系统中,除直接库仑项和交换项以外,未能包括的相互作用能的其余部分,形式较多.由于,相互作用势依赖于,同时又要由薛定谔方程来决定,也就是说，既出现在系数中,同时又是方程的解.所以,必须用自洽的计算方法—迭代法来处理.这种求解工作量很大,需借助计算机进行.求解思路：1).首先确定所研究晶体的结构和组成(确知价电子并计算出电荷密度)；2).确定初始的单电子势；3).求解上述单电子薛定谔方程,得到相应的和进而得到；4).将得到的代入单电子势中的有关项,得到改进的单电子势；5).重复3)—4)的过程,直到n+1次计算得到
6、的和与第n次的和在误差范围内相等为止。显然,通过求解思路我们看到方程的求解是相当复杂的,为此,常要做一些近似.当然,这些近似基本上还是离不开我们前面所提到的:不是改变单电子的有效势,就是波函数的形式.早期的波函数的改进，都是围绕平面波来展开的。周期场中单电子波函数（布洛赫波函数）是一系列相差一个倒格矢的平面波的叠加：用狄拉克符号表示，即：一、平面波法(plane-wavemethod)代入晶体中单电子的薛定谔方程：周期势可按照倒格矢作傅里叶展开常取平均势为零，后面为相对于平均势的起伏。傅里叶展开系数用左乘薛定谔方程
7、(1)并积分得:或:或用作用到薛定谔方程(2)式(1)(2)可得：按照量子力学的标准程序，考虑到平面波为自由电子的本征态，以及正交归一性，即：或:令上式中的矩阵元这是关于展开系数的齐次线性方程组,由有非零解的条件,系数行列式为零,可得确定能量本征值的方程:是无穷阶的行列式,其中的对角元和非对角元如下得:平面波的特点：我们知道，无穷阶的行列式是无法计算的。所以上面的计算中尽管看起来很严格，但无法得到结果。为此，实际计算时常取有限阶行列式，如取n阶，则上式是关于能量的n次代数方程，原则上可得到n个能量本征值，能带序号对
8、应n=1，2，3，…。1).较好的解析形式:正交归一化,无需考虑交叠积分.因而多数情况下哈密顿量矩阵元在平面波基下可用解析式表达;2).为了改善基函数集的性质,可以加上更多的平面波；3).基是非定域的，即不依赖于原子的位置。表面上看来,平面波方法是一种严格求解周期性势场中单电子波函数的方法,物理图像也很清晰.但是该方法的致命弱点是收敛性差,要求解的本征值行列
