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《孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.3紧束缚近似》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三节紧束缚近似(tightbindingapproximation)本节主要内容:一、紧束缚近似的模型及其能带二、万尼尔函数(Wannierfunction)近自由电子近似是把晶体中运动的电子看作在弱周期场中接近自由运动的一种极端的情形，适用于金属中的传导电子。紧束缚近似则是另一种极端的模型，是1928年布洛赫提出的第一个能带计算方法紧束缚近似认为晶体中的电子态与组成晶体的原子在其自由原子态时差别不大，晶体电子的波函数可以用原子轨道线性组合来构成，因而较适合于原子较内层的电子的情况。紧束缚近似得到的结果除了使布洛赫电子的波函数和能带进一步具体化以外，还能
2、初步解释半导体和绝缘体中所有电子的能带，尤其对过渡族金属中的3d电子的能带比较适用。一、紧束缚近似的模型及其能带1.布洛赫函数—原子轨道线性组合(LCAO)(LinearCombinationofAtomicOrbitals)紧束缚近似认为晶体中的电子在某个原子附近时主要受该原子势场的作用，以孤立原子的电子态作为零级近似，其它原子的作用是次要的，被看作微扰。因而较适合于原子较内层的电子的情况。假设原子位于简单晶格的格点上,格矢:，有一个电子在其附近运动，若不考虑其它原子的影响，则电子满足孤立原子中运动的薛定谔方程电子运动的薛定谔方程是单原子势,i表示原子中
3、的某一量子态是与本征能量对应的本征态设简单晶体是由N个原子组成，则N个原子有N个类似的波函数对应同一个能级，因而是N重简并的。如1s，2s，2p，…等量子态。构成晶体后,原子相互靠近,有了相互作用,简并解除,晶体中电子作共有化运动.如果把原子之间的相互作用看成微扰，则晶体中的单电子波函数看成是N个简并的原子轨道波函数的线性组合，即近似认为不同原子的轨道交叠甚小而正交，同一原子的轨道波函数归一，即的上述取法称为原子轨道线性组合法(LCAO)即晶体中的电子作共有化运动，其共有化轨道由原子轨道的线性组合构成。由布洛赫定理，组合后的波函数应为布洛赫函数为此取则晶体
4、中的单电子波函数变为：下面验证为布洛赫函数得证。归一化因子晶体电子的波函数如果晶体是由N个相同的原子构成的布拉维晶格,则每个原子附近都有一个能量为的束缚态波函数(假定对单个原子来说是非简并的),因此在不考虑原子间相互作用时,对整个晶体而言应有N个类似的方程.O即用孤立原子的电子波函数的线性组合来构成晶体中电子共有化运动的波函数，因此紧束缚近似也称为原子轨道线性组合法,简称LCAO。这些波函数对应于同样的能量是N重简并的(对整个晶体而言)。考虑到微扰后，晶体中电子运动波函数应为N个原子轨道波函数的线性组合晶体中的电子在某个原子附近时主要受该原子势场的作用，其
5、它原子的作用视为微扰来处理，所以，周期势为2.周期势场因此，紧束缚近似下晶体电子的哈密顿为如果不考虑原子间的相互影响，在格点附近的电子将以原子束缚态绕点运动。表示孤立原子的电子波函数。3.哈密顿方程O其中为孤立原子中电子的哈密顿为其它原子的周期微扰势。(1)孤立原子情形下电子的运动方程孤立原子中的电子能级，i表示所处能级1s，2s，2p等。(2)晶体中电子运动方程电子绕格点处原子运动时的运动方程:电子绕原子轨道运动的波函数O晶体电子的哈密顿和波函数前面已经给出将上面的波函数代入薛定谔方程4.晶体电子的能量本征值和能带的形成注意到：得：考虑到：方程变为：令从
6、而：由于其它原子的微扰势通常是小于零的，所以上式中定义的Jsn是一个大于零的量，表示相距为Rs-Rn的两个格点上的波函数的重叠积分。等式两边同时除以得：整理得紧束缚近似下晶体电子的能量本征值为i表示原子中的某一量子态,表示所处能级1s，2s，2p等.波矢k在第一布里渊区共有N个值,N个准连续的能量本征值形成一个能带.对应孤立原子的一个能级,由于k的取值有N个,晶体电子的能量展宽为由N个准连续的能量本征值形成的一个能带.亦即,孤立原子的能级与晶体中的电子能带相对应.如2s、2p等能带等Jsn表示相距为的两个格点上的波函数的重叠积分，它依赖于与的重叠程度,重叠
7、最完全，即Jss最大，其次是最近邻格点的波函数的重叠积分,涉及较远格点的积分甚小，通常可忽略不计。所以近邻近似下近邻原子的波函数重叠愈多，的值愈大,能带将愈宽.由此可见:与原子内层电子所对应的能带较窄,而且不同原子态所对应的和是不同的.实际计算时，常把Rs取作坐标原点，则在只考虑最近邻时的紧束缚近似能量本征值为5.立方晶体中对应孤立原子s态形成的能带由于s态波函数是球形对称的,因而重叠积分Jsn仅与Rs、Rn原子间距有关,只要原子间距相等,重叠积分就相等.对于简立方最近邻原子有6个，以Rs=0处原子为参考原子，6个最近邻原子的坐标为：(±a，0，0)，(0
8、，±a，0)，(0，0，±a)，其中a为晶格常数。对6个最近邻原子
