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《孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.7布洛赫电子的准经典运动》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.7布洛赫电子的准经典运动本节主要内容：一、布洛赫电子的准经典模型二、布洛赫电子的加速度和有效质量前面我们讨论了晶体电子在周期势场中的本征态和本征能量，从本征态和本征能量出发可以进一步研究晶体中电子的基态和激发态3.7布洛赫电子的准经典运动因为只要知道了电子本征态的分布，就可以根据统计物理的基本原理去讨论系统中电子按能量的平衡态分布问题，也可以讨论在外场下的量子跃迁问题，比如热激发、光吸收和电子散射等。另外,当讨论电子在外场中的运动问题时,如果采用量子力学处理,哈密顿中除了周期势外,还要考虑外势场.而且,由于外场使得电子的状态和能量随时间变化,所以必须求解包括外加势场在内的含时薛定谔方程.
2、求解含时薛定谔方程是很复杂的,为此人们把布洛赫电子近似当作准经典粒子来处理,这样就避免了复杂的数学运算,而且物理图像也比较直观.亦即外电场、磁场对布洛赫电子的作用采用经典的处理方式，晶格周期场对电子的作用沿用能带论量子力学的处理方式。把布洛赫电子当作准经典粒子来处理的近似方法称为准经典近似。下面我们首先给出布洛赫电子的准经典模型，然后对这一模型的合理性给出解释。1.模型的表述一、布洛赫电子的准经典模型假设每个电子具有确定的位置r,波矢k和能带指标n,对于给定的εn(k),在外电场E(r,t)和外磁场B(r,t)的作用下,位置、波矢、能带指标随时间的变化遵从如下规则:1).能带指标n是运动常数
3、，电子总呆在同一能带中，忽略带间跃迁的可能性；2).电子的速度满足：3).波矢随时间的变化满足：电子的运动方程晶格周期场的量子力学处理的结果全部体现在中因而准经典模型提供了从能带结构推断输运性质，或反过来从输运性质的测量结果推断能带结构的理论基础。在准经典模型中，能带仍然满足前面的对称性。2.模型合理性的说明严格求解电子在外电场和外磁场作用下的行为，应从含时薛定谔方程中得到：量子力学对应原理告诉我们,如果一个力学体系的态与态的变化可以用经典力学近似描述,则这个态在量子力学中可以表示为一个波包.波包就是指该粒子的空间分布在r0附近⊿r范围内，动量取值在ħk0附近ħ⊿k范围内，且⊿r与⊿k满足不
4、确定性关系。下面我们从量子力学出发给出模型的合理解释由测不准关系,布洛赫电子的波矢完全确定,则坐标是完全不确定的.晶体中,一个电子的本征状态是由布洛赫波函数来描述的,它具有确定的波矢和确定的能量.虽然波包的波矢不能完全确定，但是波包的空间位置有一定的确定性。也就是说，这个叠加态构成的波包以牺牲波矢的完全确定来换取坐标的某种确定性。考虑到实际晶体中的电子态,往往是一些本征态的叠加.如果布洛赫电子的状态由附近范围内的布洛赫本征态叠加构成,它将构成一个波包.粒子运动的平均速度相当于波包中心移动的速度前面写波函数时,考虑到本征态是定态,没有考虑时间因子,现在考虑时间因子后，布洛赫波函数写成：由于波包
5、包含不同能量本征态(不同的状态具有不同的能量).忽略带间跃迁,可把附近范围内的布洛赫本征态叠加构成的波包函数写成:归一化因子求和写成积分是同一能带中波矢是准连续的令：考虑到在附近,调幅因子变化不大，可近似用代替，则波包函数近似为：在附近将展开得：考虑到并把被积函数中的矢量用分量表示，且令：则波包函数可表示为：上式即布洛赫波包函数某时刻，在坐标空间内找到电子的概率为：附加因子的最大值为1(或时).当时,在坐标空间内找到电子的概率为,对应本征态,电子的坐标完全不确定.如果,仅当时,波包的振幅最大,而当时,波包的振幅趋于零.这表明波包局限在晶体的一个区域内,且位置是时间的函数.由此,我们可以把某时
6、刻波包的中心位置认定为电子的坐标，即：写成矢量形式，即：波包的中心位置所以，波包的速度：这就证明了波包的速度(布洛赫电子的群速度)等于电子的平均速度,模型2得以合理解释.根据不确定性原理,⊿k越大,⊿r就越小,电子的位置就越确定.但是波矢通常限制在第一布里渊区,所以⊿k的取值范围应远小于布里渊区的尺度,否则波矢完全不确定.因此,要求波包的尺度远大于晶格常数.在这种意义上,准经典近似成立的条件是外场应随时间和空间缓慢变化.即波长远大于晶格常数,而频率要小,以禁止带间跃迁.由量子力学我们知道,电子的平均速度可写成：容易证明波包的速度(布洛赫电子的群速度)等于电子的平均速度前面,将布洛赫波函数代入
7、薛定谔方程得：将上述方程两边对取微分,且令：则有：又因为：所以：对上式左乘再对求积分得：左1左2右1右2由于是厄米算符，则左2为：左1右1则布洛赫电子的平均速度：说明：1).布洛赫态是与时间无关的定态，有确定的值.因而,尽管电子和周期排列的离子实相互作用,但其平均速度将永远保持,不会衰减.也就是说,一个理想金属晶体,将有无穷大的电导.2).由于晶体结构上的不理想性,存在杂质和缺陷,同时,离子实本身会有热运动,
