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《孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.9布洛赫电子在恒定磁场作用下的运动》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.9布洛赫电子在恒定磁场作用下的运动本节主要内容：二、均匀磁场中自由电子的量子化理论三、德哈斯-范阿尔芬效应四、回旋共振方法一、恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动1.恒定磁场中的准经典运动准经典运动的两个方程：一、恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动所以，在空间中，波矢满足：1).垂直于的方向2).(波矢的变化)垂直于的方向说明电子沿着等能面运动因而,在k空间,电子总是沿着垂直于磁场的平面和等能面的交线运动.说明k沿磁场方向的分量和电子的能量是运动常量自由电子的等能面是球面,与kz垂直的平面与等能面的交线就
2、是一系列圆.(1)电子在空间的运动图象在k空间，电子总是沿着垂直于磁场的平面和等能面的交线运动以自由电子为例加以讨论：kz保持不变,在kx—ky面内做匀速圆周运动,回转的频率(2)电子在实空间的运动图象电子在r空间做螺旋运动，即在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动，回旋频率为以上讨论的是自由电子，对于布洛赫电子，由于晶格周期场的作用，闭合轨道并不一定是圆形，但形式上仍可写成：相应的周期为：设Δ(k)是垂直于磁场的轨道平面内能量为ε和ε+Δε两个等能面间法线距离。如图：由得：与比较可知：它与只和电子态有关的电
3、子的有效质量不一定相同。对方程两边用叉乘，得：所以,电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁场轴旋转90度,并乘以因子得到.电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁场轴旋转90度,并乘以因子得到.二、均匀磁场中自由电子的量子化理论考虑边长为L的立方体,以它们的边长为x,y,z轴,外磁场平行于z轴且均匀.即：自由电子在外加磁场(沿z轴方向)的哈密顿算符为：：电子的运动学动量，：电子的场动量，：矢量势1.朗道能级则由于且中不含x，z,所以它和算符及是对易的。根据量子力学，可选的本征波函数同时为的本征波函数。
4、可令这时波函数可以写成：代入方程得到:与量子力学中谐振子方程比较可知，上式是一个中心在y0的谐振子波动方程。谐振子能量回旋频率电子的能量由量子力学知从准连续的能量变成(n+1/2)c沿磁场B方向,电子保持自由运动,相应的动能为在与磁场垂直的kz＝常数的平面内,轨道是量子化的.这些量子化的能级称为朗道能级。在垂直磁场的x-y平面上,电子的运动是量子化的电子的能量因此，电子的能量从准连续的能谱变成一维的磁次能带如图,每个磁次能带是一条抛物线,开口向上.磁次能带的能量极小值是：由于能量—波矢关系的改变,在
5、k空间描写状态的代表点的分布也改变了.在没有外磁场时,状态的代表点在平面是均匀分布的,每个代表点占据的面积为：在有外磁场B时，平面上的能量变为：变成了谐振子，其中心位置在,代表电子的平均位置,可以位于晶体中不同的地点。所以：这个数目代表由于线性谐振子中心位置的不同而产生的简并度。可知,当n等于某整数时,在平面内是一个圆环,称为朗道环.两个相邻圆环之间的面积为：是一个正比于外磁场的常量在此面积中含有的原来没有外磁场时的状态数为：即简并度。包含了所有的简并态。加了外磁场后，这些代表点都聚合到了圆周上。无外磁
6、场有外磁场由于沿磁场方向仍准连续变化,所以在三维k空间的代表点将聚集到一系列圆柱面上,每一个圆柱面对应一个确定的量子数n，最后形成所谓的朗道管。n一定，电子的能带是一条抛物线，n=0是最低的次能带，n增加，次能带向上移，如图给出磁次能带的简图。如图所示，在波矢空间形成一系列“圆柱面”，每一个圆柱面对应一个确定的量子数n，可以看成是一个子带，在每一个子带中只有一维自由度kz。电子的能量由准连续的能谱变成一维的磁次能带。n=3n=2n=1n=0B=00自由电子在磁场中的能量不同的y0并不影响谐振子的本征值
7、，而y0又依赖于波矢分量kx，因此不同的状态可能会是简并态。其简并度是多少呢？2.朗道能级简并度该范围内的波矢数为：朗道能级简并度(考虑自旋)：此简并度与磁感应强度B和晶体在垂直于磁场方向的截面积成正比，与能级序号无关，即无论n为何值，简并度不变。有外磁场无外磁场在恒定磁场下形成朗道能级，实际上只是量子态的一种重新分布，量子态的总数是不变的。3.布洛赫电子的轨道量子化对于布洛赫电子，电子的半经典闭合轨道将按玻尔量子化条件来量子化。即：可以证明：布洛赫电子的闭合轨道在k空间所围面积也是以这与自由电子相同,
8、相邻闭合轨道的能量差为:三、德哈斯-范阿尔芬效应(deHass-VanAlpheneffect)德哈斯-范阿尔芬效应,是1930年deHass和VanAlphen在低温、强磁场中研究铋单晶的磁化率时发现的.他们发现,低温下强磁场中金属的磁化率随磁场倒数(1/B)周期性振荡,人们把这种现象称为德哈斯-范阿尔芬效应.后来,人们进一步研究发现,电导率、比热等物理量在低温下强磁场中也有类似的振荡现象,这些现象同金属费米面附近电子在强磁场中的行为有关
