分形理论在无机材料中的应用

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1、分形理论在材料中的应用1分形理论简介Fractal一词，源于拉丁文Fractus。原译为“不规则的”或“破碎的”，但通常把它译为“分形”。近年来，分形一直是国内外有关学者们的研究热点，它的应用性研究逐渐被渗透至物理、数学、化学、生物、医药、地震、冶金，甚至哲学、音乐与绘画等各个领域。1.1分形理论的提出众所周知，普通的儿何对象具有整数维数。例如:点为零维，线为一维，而为二维，立方体为三维。然而,自然界中真实的线、面并不总是光滑的，许多物体的形状也是极不规则的，例如连绵起伏的山脉轮廓线、曲折蜿蜒的江河川流、变幻无常的浮云，以及令人眼花缭乱的繁星等等。同样，这

2、种现象在材料科学中也很普遍，如:高分子的凝聚体结构、材料固体裂纹、电化学沉积等等，这些都是难于用欧氏几何学加以描述的。对于诸如具有此类几何结构的体系，如何进行定量表征呢？随着人类对客观世界认识的逐步深入，以及科学技术的不断进步,象传统数学那样把不规则的物体形状加以规则化，然后进行处理的做法已不能再令人满意了。于是，在七十年代中期，分数维儿何学应运而生［U。整数与分数维集合的几何测度理论，早在本世纪初已由纯数学家们发展起来。但谈到分数维几何学的创始人，则首先当推法国数学家曼德尔布罗，他在总结了自然界中的非规整几何图形后［2］，于1975年第一次提出分形这个概

3、念。此后，分形在不同学科领域中被广泛地应用起來；直至1982年德尔布罗出版了他的专著《TheFractalGcomctryofNature》则表明分形理论已初步形成［3］。1.2自相似性分形结构的本质特征是自相似性或自仿射性。自相似性是指:把考察的对象的-•部分沿各个方向以相同比例放大后，其形态与整体相同或相似。简单地说，就是局部是整体成比例缩小的性质。形象地说,就是当用不同倍数的照相机拍摄研宂对象时，无论放大倍数如何改变,看到的照片都是相似的（统计意义），而从相片上也无法断定所用相机的倍数，故又称标度不变性或全息性。仿射性则是指:把考察的对象的一部分沿各

4、个方向以不同比例放大后,其形态与整体相同或相似。而具有自相似性或自仿射性结构的体系就是分形体［4,5］。例如：Sierpinski三角形是一个比较经典的例子，取三边的巾点并相互连接---产生叫个全等的小三角形。（如下图）事实上，A然界中的许多复杂现象和复杂图形背后，时常隐藏着一种无度性，即从不同的尺度范围来看,局部与整体是相似的。这种体系到处可见，大到天体星系、变换不定的云彩,小到材料的裂纹、构件的断裂面、空气中的灰尘微粒,以及凝聚态物质的微观凝聚体等等，都具有尺度不同的多层次的形状和结构。当你放大或缩小观察和测量的尺度吋，形状和结构几乎不变。可见，分形理

5、论应用性研究的领域十分广阔，具有巨大的潜力。1.3分形体的数学构造分形体是个其维数介于点、线、而之间的客体，具有分形特征的物体的维数往往是分数。分形体不具有晶体儿何的旋转对称和平移对称性，但具有其特有的标度对称、伸缩对称与自相似性。分形体之间的差别在于标度的不同，而形状在不同尺度上是相同的［6］。分形体的数学构造通常可分为以下四类：（1）Cantor棒分形；（2）Sierpinski四而体分形；（3）随机分形如:渗流集团［7,8］;（4）多重分形。其中，多重分形］是定义在分形上的由多个标度指数的奇异测度所组成的无限集合，是为处理复杂而非均匀系统与过程而由H

6、alsey等人发展起來的。这是因为简单分形不能完整而生动地刻画大自然的复杂性与多样性，它仅是一种近似的手段;用一个参数不足以描述它，阁1SierpinskiS:需要引入一系列参数用以更详细地描述复杂分形及其生长过程的特点。1.4欧氏空间与非欧氏空间从数学的观点來看，在分形中产生了从欧氏测度到豪斯道夫测度的转变，即产生了测度观的转变;在物理上则表现为量纲数的转变，而这正是分形理论的主要特征。可以说，分形理论带来了一场由平直的欧氏时空观转变到弯曲的非欧氏时空观的革命浪潮。表一列出了两者之间的差异—_一_表丨分形几何学及欧氏几何学的差异Tab.1Thediffe

7、rencel)elweernfractalgeometryandeuclideangeometry几何学描述对象特征长度农达方式维数欧氏几何学人类创造的简单的标准物体有数学公式0及正根数分形几何学大G然创造的复杂的真实物体无迭代语言可以是格数也可以是分数经典儿何学是以？｛希腊的欧儿里得儿何学为基础的逻辑体系，它是以规整儿何图形作为研究对象的。由其定义不难看出:对于欧氏空间，其维数只能是整数。而所谓几何测量是指长度、面积与体积的测量。欧氏几何中的测量问题可用如下的公式加以描述：长度=7;面税J=W2;体税K=;其屮，a与6均为常数，称为形状因子。显然,长度、

8、而积与体积的量纲数恰与其欧氏空间维数相等，并且均为整数;可以证明微