等差数列和前n项和讲义

等差数列和前n项和讲义

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1、.WORD格式.资料.等差数列及其前n项和一、等差数列的相关概念(一)等差数列的定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差。利用:“-=(为常数)”判断一个数列是否是等差数列。注意:(1)如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项起或第4项起,那么此数列不是等差数列;(2)等差数列要求这个常数必须相同;(3)公差:=-=-(n≥2);(4)当=0时,数列为常数数列;当>0,数列为递增数列;当<0,数列为递减数列;(5)公差必须为后一项减

2、前一项,不能颠倒。(二)、等差数列的通项公式如果等差数列{}的首项为,公差为,那么它的通项公式是=+(n-1),或者通项公式的变形:=+(n-m)。(三)、等差中项:(1)由三个数,A,b组成的等差数列,A叫做和b的等差中项,则2A=+b;(2)若在一个等差数列中,除去首项和末项以外,每一项都是它前一项与后一项的等差中项,即2=+。(3)特别地:在△ABC中,A、B、C成等差数列,则B=600。例1:已知数列{}为等差数列=,=-,则=____________。【基本量法】【解析】 -.变式练习1:若等差数列{

3、}的公差≠0,且,是关于x的方程x2-x+=0的两根,求数列{}的通项公式。【解】 由题意知∴解得an=2n.变式练习2:(1)方程x2-6x+1=0的两根的等差中项为________。(2)等差数列{}中,前三项依次为,,,则公差=________.【解析】(1)设方程两根为x1、x2,则x1+x2=6,所以其等差中项为=3.(2)由+=2×得x=2,故知等差数列{an}的首项为,公差d=.变式练习3:等差数列{}中,若-=20,则-=(  )专业.整理.WORD格式.资料.A:40B:30C:25D:20【

4、解析】选B.因为4d=a7-a3=20,所以d=5,于是a2017-a2011=6d=6×5=30.二、等差数列的性质1、>0,{}是递增数列;=0,{}是常数列;<0,{}是递减数列。2、公差==(m、n∈N+)3、若p+q=m+n,则+=+m、n、p、q∈N+;特别地:=k,则2=+(角标公式)例2:在公差为的等差数列{}中,(1)若+++=48,则________________。(2)若+++=34,×=52,则=____________。【解析】:(1)a13=12.(2)∴或∴d=3或d=-3.变式

5、练习1:已知等差数列{}中,++=1,则+=___________。【解析】:变式练习2:(1)在等差数列中+=15,=4,则=(  )A:10B:11C:12D:9【解析】 B(2)在等差数列{}中,若=10,则++++=(  )A:30B:40C:50D:60【解析】 C变式练习3:在等差数列{}中,+=4,则= (  )A:10B:20C:40D:2+log25【解析】a1+a2+…+a10=5(a5+a6)=5×4=20,专业.整理.WORD格式.资料.从而log2(··…·)=log2220=20.变

6、式练习4:在等差数列{}中,若++++=80,则-的值为(  )A:4B:6C:8D:10【解析】选C.因为a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,所以a6=16.所以-=(2-)=(+-)=8三、等差数列前n项和Sn1、公式:==n+;由前n项和公式得:=An2+Bn+C,则{}成等差数列的充要条件是C=0。2、性质:(1)、在等差数列{}中,则,-,-成等差数列。例3:设为等差数列{}的前n项和,若=3,-=27,则该数列的首项等于(  )A:-B:-C:D:【解析】:由得解得a1=.故选D.变式练习

7、1:在等差数列中,已知,,求数列的通项公式。【解析】:=4n-12变式练习2:《九章算术》有这样一个问题:今有女子善织,日增等尺,七日织二十一尺,第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺,问第十日织尺数为()A:6B:9C:12D:15【解析】:=21,,则=15变式练习3:已知数列为等差数列,前30项的和为50,前50项的和为30,求前80项的和。【解析】:解:设,解得专业.整理.WORD格式.资料.注:等差数列有如下性质:若则。例4:在等差数列中,已知,那么它的前8项之和等于()A:12B:24C:36D:4

8、8【解析】:D变式练习1:已知等差数列中,,那么()A:390B:195C:180D:120【解析】:C变式练习2:在等差数列{}中,=20,则=__________。【解析】820变式练习3:已知在等差数列中,、是方程x2-6x-10=0的根,则=()A:41B:51C:61D:68【解析】:B变式练习4:已知等差数列的公差,,那么()A:80B:120C:135D:160【解析】:

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