等差数列和前n项和讲义

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1、.WORD格式.资料.等差数列及其前n项和一、等差数列的相关概念（一）等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。利用：“－＝(为常数)”判断一个数列是否是等差数列。注意：（1）如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，那么此数列不是等差数列；（2）等差数列要求这个常数必须相同；（3）公差：＝－＝－(n≥2)；（4）当＝0时，数列为常数数列；当＞0，数列为递增数列；当＜0，数列为递减数列；（5）公差必须为后一项减

2、前一项，不能颠倒。（二）、等差数列的通项公式如果等差数列{}的首项为，公差为，那么它的通项公式是＝＋(n－1)，或者通项公式的变形：＝＋(n－m)。（三）、等差中项：（1）由三个数，A，b组成的等差数列，A叫做和b的等差中项，则2A＝＋b；（2）若在一个等差数列中，除去首项和末项以外，每一项都是它前一项与后一项的等差中项，即2＝＋。（3）特别地：在△ABC中，A、B、C成等差数列，则B＝600。例1：已知数列{}为等差数列＝，＝－，则＝____________。【基本量法】【解析】　－.变式练习1：若等差数列{

3、}的公差≠0，且，是关于x的方程x2－x＋＝0的两根，求数列{}的通项公式。【解】　由题意知∴解得an＝2n.变式练习2：（1）方程x2－6x＋1＝0的两根的等差中项为________。（2）等差数列{}中，前三项依次为，，，则公差＝________.【解析】(1)设方程两根为x1、x2，则x1＋x2＝6，所以其等差中项为＝3.(2)由＋＝2×得x＝2，故知等差数列{an}的首项为，公差d＝.变式练习3：等差数列{}中，若－＝20，则－＝(　　)专业.整理.WORD格式.资料.A：40B：30C：25D：20【

4、解析】选B.因为4d＝a7－a3＝20，所以d＝5，于是a2017－a2011＝6d＝6×5＝30.二、等差数列的性质1、＞0，{}是递增数列；＝0，{}是常数列；＜0，{}是递减数列。2、公差＝＝(m、n∈N＋)3、若p＋q＝m＋n，则＋＝＋m、n、p、q∈N＋；特别地：＝k，则2＝＋(角标公式)例2：在公差为的等差数列{}中，（1）若＋＋＋＝48，则________________。（2）若＋＋＋＝34，×＝52，则＝____________。【解析】：（1）a13＝12.（2）∴或∴d＝3或d＝－3.变式

5、练习1：已知等差数列{}中，＋＋＝1，则＋＝___________。【解析】：变式练习2：（1）在等差数列中＋＝15，＝4，则＝(　　)A：10B：11C：12D：9【解析】　B（2）在等差数列{}中，若＝10，则＋＋＋＋＝(　　)A：30B：40C：50D：60【解析】　C变式练习3：在等差数列{}中，＋＝4，则＝　(　　)A：10B：20C：40D：2＋log25【解析】a1＋a2＋…＋a10＝5(a5＋a6)＝5×4＝20，专业.整理.WORD格式.资料.从而log2(··…·)＝log2220＝20.变

6、式练习4：在等差数列{}中，若＋＋＋＋＝80，则－的值为(　　)A：4B：6C：8D：10【解析】选C.因为a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，所以a6＝16.所以－＝(2－)＝(＋－)＝8三、等差数列前n项和Sn1、公式：＝＝n＋；由前n项和公式得：＝An2＋Bn＋C，则{}成等差数列的充要条件是C＝0。2、性质：（1）、在等差数列{}中，则，－，－成等差数列。例3：设为等差数列{}的前n项和，若＝3，－＝27，则该数列的首项等于(　　)A：－B：－C：D：【解析】：由得解得a1=.故选D.变式练习

7、1：在等差数列中，已知，，求数列的通项公式。【解析】：＝4n－12变式练习2：《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日织尺数为（）A：6B：9C：12D：15【解析】：＝21，，则＝15变式练习3：已知数列为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和。【解析】：解：设，解得专业.整理.WORD格式.资料.注：等差数列有如下性质：若则。例4：在等差数列中，已知，那么它的前8项之和等于（）A：12B：24C：36D：4

8、8【解析】：D变式练习1：已知等差数列中，，那么（）A：390B：195C：180D：120【解析】：C变式练习2：在等差数列{}中，＝20，则＝__________。【解析】820变式练习3：已知在等差数列中，、是方程x2－6x－10＝0的根，则＝（）A：41B：51C：61D：68【解析】：B变式练习4：已知等差数列的公差，，那么（）A：80B：120C：135D：160【解析】：