韦达定理[含答案解析]_

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1、WORD格式.可编辑第三讲充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的．韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题

2、常用到对称分析、构造等数学思想方法．【例题求解】【例1】已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为．思路点拨所求代数式为、的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果、都是质数，且，，那么的值为()A．B．或2C．D．或2思路点拨可将两个等式相减，得到、的关系，由于两个等式结构相同，可视、为方程的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件．注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于、的对称式，这类问题可通过变形用+、表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构

3、造对称式．【例3】已知关于的方程：(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．(2)若这个方程的两个实根、满足，求m的值及相应的、．思路点拨对于(2)，先判定、的符号特征，并从分类讨论入手．技术资料.整理分享WORD格式.可编辑【例4】设、是方程的两个实数根，当m为何值时，有最小值?并求出这个最小值．思路点拨利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的．注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件

4、，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性．【例5】已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于的方程的两个根．(1)当m＝2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由．(2)若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P，Q，PQ＝1，且AB

5、从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．技术资料.整理分享WORD格式.可编辑学历训练A组1．(1)已知和为一元二次方程的两个实根，并和满足不等式，则实数取值范围是．(2)已知关于的一元二次方程有两个负数根，那么实数的取值范围是．2．已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为．3．CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程的两根，则△ABC的面积是．4．设、是关于的方程的两根，+1、+1是关于的方程的两根，则、的值分别等于()A．1，-3B．1，3C．-1，-3D．-1，35．

6、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于的方程的两根，那么AB边上的中线长是()A．B．C．5D．26．方程恰有两个正整数根、，则的值是()A．1B．-lC．D．7．若关于的一元二次方程的两个实数根满足关系式：，判断是否正确?技术资料.整理分享WORD格式.可编辑8．已知关于的方程．(1)当是为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程的两个实数根、满足：，求的值．B组9．已知方程的两根均为正整数，且，那么这个方程两根为．10．已知、是方程的两个根，则的值为．11．△ABC的一边长为5

7、，另两边长恰为方程的两根，则m的取值范围是．12．两个质数、恰好是整系数方程的两个根，则的值是()A．9413B．C．D．13．设方程有一个正根，一个负根，则以、为根的一元二次方程为()A．B．技术资料.整理分享WORD格式.可编辑C．D．14．如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是()A．0≤m≤1B．m≥C．D．≤m≤115．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的长为10，且AB、BC(AB>BC)的长是关于的方程的两个根．(1)求rn的值；（2）若E是AB上的一点，CF⊥DE于F，求BE为何值

8、时，△CEF的面积是△CED的面积的，请说明理由．16．设m是不小于的实数，使得关于的方程工有两个不相等的实数根、．(1)若，求m的值．(2)求的最大值．技术资料.整理分享WORD格式.可编辑17．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，过C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC2