[工学]第三章 随机信号分析

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1、第三章随机信号1学习目标随机过程的基本概念;随机过程的数字特征（均值、方差、相关函数）;随机过程的平稳性、各态历经性、自相关函数的性质、维纳－辛钦定理;高斯随机过程的定义、性质，其一维概率密度函数和正态分布函数，高斯白噪声;平稳随机过程通过线性系统，其输出过程的均值、自相关函数和功率谱密度、带限白噪声;窄带随机过程的表达式，其包络、相位的统计特性，其同相分量、正交分量的统计特性；余弦波加窄带高斯过程的合成包络的统计特性匹配滤波器循环平稳随机过程23.1引言自然界中事物的变化过程大致分成为两类：确定性过程：其变化过程具有确定的形式，或者说具有必然的变化规律，用数学

2、语言来说，其变化过程可以用一个或几个时间（t）的确定函数来描述。随机过程：该过程没有确定的变化形式，也就是说，每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律，用数学语言来说，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。3通信过程是信号和噪声通过通信系统的过程。而通信系统中遇到的信号和噪声总带有随机性，从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过程。随机过程：设Sk(k=1,2,…)是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t),x2(t)，…,xn(t)，…}就构成一随机过程，记作X

3、(t)。简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程，如图所示：4图2-1样本函数的总体5随机过程X(t)具有两个基本特征：（1）X(t)是时间t的函数；（2）在某一观察时刻t1，样本的取值X(t1)是一个随机变量。因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间参数的一族随机变量。可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。63.2随机过程的统计（概率）特性设X(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T，其取值X(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。把随机变量X(t1)小于或等于某一数值x1的概率P[X(t1)≤x1]

4、，简记为F1(x1,t1)，即F1(x1,t1)=P［X(t1)≤x1］上式称为随机过程X(t)的一维分布函数。1、随机过程的分布函数和概率密度：随机过程的统计性质可以由其分布函数和概率密度来描述7则称f1(x1,t1)为X(t)的一维概率密度函数。显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系。任给两个时刻t1,t2∈T，则随机变量X(t1)和X(t2)构成一个二元随机变量{X(t1),X(t2)}，称F2(x1,x2,t1,t2)=P｛X(t1)≤x1,X(t2)≤x

5、2｝为随机过程X(t)的二维分布函数。如果F1(x1,t1)对x1的偏导数存在8则称为X(t)的二维概率密度函数。,2如果存在:X(t)的n维概率密度:同理，X(t)的n维分布函数:9如果对于X(t)任意时刻和任意n都给定了分布函数或概率密度，即n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，掌握二维分布函数就已经足够了。102、随机过程的数字特征分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性,但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。

6、（1）数学期望（均值）（2）方差11均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系，还需利用二维概率密度引入新的数字特征。12（3）自相关函数（4）自协方差函数（5）归一化协方差函数和等于0，则称X(t1)，X(t2)不相关。133、两随机过程的联合分布函数和数字特征X(t)和Y(t)是两个随机过程（1）联合分布函数和概率密度14若X(t)和Y(t)是两个相互独立随机过程,则上式是X(t)和Y(t)是两个相互独立的充要条件（2）两个随机过程的数字特征互相关函数：互协方差函数

7、：互协方差函数＝0，则X(t)和Y(t)不相关X(t)和Y(t)独立与不相关的关系？独立，必不相关，反之，未必！正态随机过程，独立与不相关等价153.3平稳随机过程1、严(狭义)平稳随机过程定义随机过程X(t),若对于任意n和任意选定t1,t2,…,tn,以及任意的，有pn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=pn(x1,x2,…,xn;t1+,t2+,…,tn+）定义说明:当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维概率密度函数或分布函数是不变的，具体到它的一维分布,则与时间t无关，而二维分布只与时间间隔τ有关，即：平稳随机过程是在通

8、信系统中占重要地位的一种