随机信号分析第三章.ppt

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1、第三章平稳随机过程3.2平稳过程相关函数的性质3.4随机过程统计特性的实验研究方法3.5相关函数的计算举例3.7高斯随机过程小结3.3平稳随机序列的自相关阵与协方差阵3.1平稳随机过程及其数字特征§3.1平稳随机过程及其数字特征平稳随机过程在通信等应用领域中占有重要地位。其重要性来自两个方面：1.在实际应用中，特别在通信中所遇到的过程大多属于或很接近平稳随机过程；2.平稳随机过程可以用它的一维、二维统计特征很好地描述。§3.1平稳随机过程及其数字特征一、平稳随机过程的基本概念1．严平稳随机过程一

2、个随机过程X(t),如果它的n维概率密度(或n维分布函数)不随时间起点选择的不同而改变，则称X(t)是严平稳随机过程。该式说明，平稳随机过程的统计特性与所选取的时间起点无关。或者说，整个过程的统计特性不随时间的推移而变化。严平稳随机过程平稳随机过程的n维概率密度不随时间平移而变化的特性，反映在其一，二维概率密度及数字特征上具有以下性质：(1)若X(t)为平稳过程,则它的一维概率密度与时间无关。所以与一维分布有关的数字特征均为常数。(2)平稳过程X（t）的二维概率密度只与t1、t2的时间间隔有关，

3、而与时间起点t1无关。所以与二维分布有关的数字特征仅是τ的函数，而与t1,t2的本身取值无关当τ=0时，有2．宽平稳随机过程若随机过程满足则称X(t)为宽平稳过程(或称广义平稳过程)严平稳过程只要均方值有界，就是广义平稳的，但反之则不一定。两个随机过程平稳相依当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，若它们的互相关函数仅是单变量τ的函数，即则称X(t)和Y(t)宽平稳相依，或称这两个随机过程是联合宽平稳的。两个随机过程的联合概率分布不随时间平移而变化、与时间起点无关，则称这两个随机过程是（

4、严）联合平稳的，或（严）平稳相依的。例3.1设随机过程式中a，ω0为常数，Φ是在区间(0，2π)上均匀分布的随机变量,这种信号通常称为随相正弦波。求证X(t)是宽平稳的。证：可见，X(t)的均值为“0”。自相关函数仅与τ有关，故X(t)是宽平稳过程。随相正弦波可见，该随机过程的均值与时间有关，自相关函数也与时间t1,t2的值均有关，所以不是平稳过程。例3．2设随机过程式中Y是随机变量。讨论X(t)的平稳性。解:例3．3设有状态连续，时间离散的随机过程X(t)=sin2πAt,式中t只能取整数值，

5、即t=1，2，…，式中的A是在（0，1）上均匀分布的随机变量。试讨论X(t)的平稳性。解：(1)可以证明X(t)是宽平稳的.(2)讨论X(t)是否是严平稳的?令t=t1过程的状态为：这表明，过程的一维变量x与a是双值关系，于是可求得过程的一维概率密度为可见，X(t)的一维概率密度与时间t有关，因此X(t)只是宽平稳的，不是严平稳过程。二、各态历经（遍历）随机过程在上面的讨论中，每当谈到随机过程时，就意味着所涉及的是大量的样本函数的集合。要得到随机过程的统计特性，就需要观察大量的样本函数。能否找到

6、更简单的方法代替上述方法呢?各态历经性过程的各样本函数都同样的经历了随机过程的各种可能状态,因此从随机过程的任何一个样本函数都可以得到随机过程的全部统计信息，任何一个样本函数的特性都可以充分地代表整个随机过程的特性。时间平均样本函数x(t)的时间平均用表示，定义为：能否用典型“样本函数”的时间平均代替集平均？例：此随机过程的样本函数为不随时间变化的常量，且显然该过程的时间平均不等于集平均例各态历经性过程的各样本函数都同样的经历了随机过程的各种可能状态,任何一个样本函数的特性都可以充分地代表整个随

7、机过程的特性,因此从随机过程的任何一个样本函数都可以得到随机过程的全部统计信息。该过程的时间平均等于集平均各态历经过程定义设X(t)是一个平稳过程(1)若以概率1成立，则称随机过程X(t)的均值具有各态历经性。(2)若以概率1成立，则称X(t)的自相关函数具有各态历经性。式中分别称作X(t)的时间均值和时间自相关函数。各态历经过程若X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性，则称X(t)是宽各态历经过程。对于遍历过程,只要根据其一个样函数,便可得到其数字特征。若X(t)的所有统计平均特性和其样函

8、数所有相应的时间平均特性以概率为一相等,则称X(t)为严遍历过程或窄义遍历过程.本章仅限于研究宽遍历过程.如果不加特别说明,遍历过程即指宽遍历过程.不难看出,遍历过程必定是平稳过程,但平稳过程不一定是遍历过程。各态历经过程(3)若以概率1成立，则称X(t)的分布函数具有各态历经性。式中是否各态历经过程。例3.4讨论本节例3.1所给出的随机过程解:由例3.1知X(t)是平稳过程对照例3.1的结果可得所以X(t)是宽各态历经的。各态历经过程例3·5讨论随机过程X(t)=Y的各态历经性(图3.3)，式