(校本教材)向量易错解析

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1、~（一）平面向量及其运算疑难知识1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量”向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的，由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的．两个向量的模相等，方向相同，我们称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线向量；2．在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点；3．对于坐标形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时，一定要区分好两个公式，切不可混淆。因此，建议在记忆时对比记忆；4．定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开计算

2、的；5．平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的坐标给出，同时注意顺序。经典例题[例1]和=(3,－4)平行的单位向量是_________；错解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量就是，即(，－)错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。正解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量是，即(，－)或(－，)点评：平行的情况有方向相同和方向相反两种。读者可以自己再求解“和=(3,－4)垂直的单位向量”，结果也应该是两个。[例2]已知A（2，1），B（3，2），C（-1，4），若A、B、C是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D的坐标。错解：设D的坐

3、标为（x，y），则有x-2=-1-3，y-1=4-2，即x=-2，y=3。故所求D的坐标为（-2，3）。错因：思维定势。习惯上，我们认为平行四边形的四个顶点是按照ABCD的顺序。其实，在这个题目中，根本就没有指出四边形ABCD。因此，还需要分类讨论。正解：设D的坐标为（x，y）当四边形为平行四边形ABCD时，有x-2=-1-3，y-1=4-2，即x=-2，y=3。解得D的坐标为（-2，3）；当四边形为平行四边形ADBC时，有x-2=3-（-1），y-1=2-4，即x=6，y=-1。解得D的坐标为（6，-1）；当四边形为平行四边形ABDC时，有x-3=-1-2，y-2=4-1，即x

4、=0，y=~~~5。解得D的坐标为（0，5）。故第四个顶点D的坐标为（-2，3）或（6，-1）或（0，5）。[例3]已知P1(3,2)，P2（8，3），若点P在直线P1P2上，且满足

5、P1P

6、=2

7、PP2

8、，求点P的坐标。错解：由

9、P1P

10、=2

11、PP2

12、得，点P分P1P2所成的比为2，代入定比分点坐标公式得P（）错因：对于

13、P1P

14、=2

15、PP2

16、这个等式，它所包含的不仅是点P为P1，P2的内分点这一种情况，还有点P是P1，P2的外分点。故须分情况讨论。正解：当点P为P1，P2的内分点时，P分P1P2所成的比为2，此时解得P（）；当点P为P1，P2的外分点时，P分P1P2所成的比为

17、-2，此时解得P（13，4）。则所求点P的坐标为（）或（13，4）。点评：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。也就是分类讨论的数学思想。[例4]设向量，，，则“”是“”的 A.充分不必要条件                B.必要不充分条件 C.充要条件                      D.既不充分也不必要条件分析：根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可．解：若，∵，则，代入坐标得：，即且．消去，得；反之，若，则且，即 则，∴ 故“”是“”的充要条件．答案：C点评：本题意在巩固向量平行的坐标表示．[例5]．已知=（1，-1），=（-1，3）

18、，=（3，5），求实数x、y，使=x+y．分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可．解：由题意有    x+y=x（1，-1）+y（-1，3）=（x-y，-x+3y）．    又=（3，5）    ∴x-y=3且-x+3y=5    解之得x=7且y=4点评：在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法．~~~[例6]已知A（-1，2），B（2，8），=，=-，求点C、D和向量的坐标．分析：待定系数法设定点C、D的坐标，再根据向量，和关系进行坐标运算，用方程思想解之． 解：设C、D的坐标为、，由题意得 =（），=（3，6）， =（），=（-3，-6） 又=，=- ∴（）

19、=（3，6），（）=-（-3，-6） 即()=(1,2)，()=(1,2) ∴且，且 ∴且，且 ∴点C、D和向量的坐标分别为（0，4）、（-2，0）和（-2，-4）小结：本题涉及到方程思想，对学生运算能力要求较高．四、典型习题1.，则有（）A.B.C.D.2.设向量满足,,则(A)1(B)2(C)4(D)53.将函数y=4x－8的图象L按向量平移到L/，L/的函数表达式为y=4x，则向量=4.从点沿向量方向取线段AB，使，则B点坐标为5.、是单位向量，的夹角为，以、为邻边作平行四