向量易混易错点分析

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1、向量易混、易错点分析德州市实验中学张民丽【易错点1】涉及向量的有关概念、运算律的理解与应用。易产生概念性错误。例1、下列命题:①(a)2-(a)2=aI4②(a-b)-c=(a-c)-b③la•b=a•I/?I④若aIIb,bIIc,则aIIc⑤aII7,则存在唯一实数入，使7=Aci⑥若a-c=b-c,且c工o,则a=b⑦设勺,e2是平面内两向量，则对于平面内任何一向量a,都存在唯组实数x、y,使a=xex+ye2成立。⑧若a+b^a-b则a•b=0。⑨a•b=0,贝Ua=0或b=0真命题个数为()A.1B.2C・3D.3个以上【易错点分析】共线向量、向量的数

2、乘、向量的数量积的定义及性质和运算法则等是向量一章中正确应用向量知识解决有关问题的前提，在这里学生极易将向量的运算与实数的运算等同起来，如认为向量的数量积的运算和实数一样满足交换律产生一些错误的结论。解析：①正确。根据向量模的计算a^a=a判断。②错误，向量的数量积的运算不满足交换律，这是因为根据数量积和数乘的定义(：•：)•乙表示和向量方共线的向量，同理(a-b)-c表示和向量c共线的向量，显然向量乙和向量c不一定是共线向量，故(a-b)-c(a-c)-b不一定成立。③错误。应为a•乙＜ab④错误。注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有传递性。⑤错误。应加条件“非零

3、向量G”⑥错误。向量不满足消去律。根据数量的几何意义，只需向量乙和向量乙在向量：方向的投影相等即可，作图易知满足条件的向量有无数多个。⑦错误。注意平面向量的基本定理的前提有向量石，石是不共线的向量即一组基底。⑧正确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等，即四边形为矩形。故：•7=0。⑨错误。只需两向量垂直即可。答案：B【知识点归类点拔】在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时，一定要明确概念或定理成立的前提条件和依据向量的运算律解答，要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处。一般地已知a,b,c和实数入，则向量的数量积满足下列运算律：①a・b=b・a(交换律)②(

4、入a)-b=X(a・b)=a•(入b)(数乘结合律)③(a+b)•c=a•c+b•c(分配律)说明(1)一般地，(a・b)cHa(b・c)(2)a・c=b・c,cH0oa=b(3)有如下常用性质：a2=Ia

5、2,(a+b)(c+d)=a・c+a・d+b・c+b・d,(a+b)2=a2+2a-b+b2【易错点2］利用向量的加法、减法、数量积等运算的几何意义解题时，数形结合的意识不够，忽视隐含条件。例2、四边形ABCD中，AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,且a•b=b•c=c・d=d・a,试问四边形ABCD是什么图形？【易错点分析】四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件

6、演变、推算该四边形的边角量，易忽视如下两点：（1）在四边形中，AB,BC,CD,D4是顺次首尾相接向量,则其和向量是零向量，即a+b+c+d=O,应注意这一隐含条件应用；（2）由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系。解：四边形ABCD是矩形，这是因为一方面：由a+b+c+d=O得a+b=-（c+d）,即（a+b）2=（c+d）2即IaI2+2a・b+IbI2=IcI2+2c・d+IdI$由于a・b=c•d,

7、aI2+IbI2=IcI2+IdI?①同理有IaI2+IdI2=IcI2+IbI$②由①②可得

8、a

9、=

10、c

11、,且

12、b

13、=

14、d

15、即四边

16、形ABCD两组对边分别相等・•••四边形ABCD是平行四边形另一方面，由a•b=b・c,有b（a-c）=0,而由平行四边形ABCD可得a=-c,代入上式得b・（2a）=0即a•b=0,/.a丄b也即AB丄BC。综上所述，四边形ABCD是矩形【知识点归类点拔】向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。基于这一点解决向量有关问题时要树立起数形结合，以形助数的解题思路。例如^?艮多重要结论都可用这种思

17、想直观得到：（1）向量形式的平行四边形定理：2（

18、：

19、?+

20、bI2)=

21、a-bI2+

22、。+方

23、2(2)向量形式的三角形不等式：IIaI-I方II

24、d

25、+lb

26、（试问：取等号的条件是什么？）；（3）在AABC中，若点P满―►ARAC足；AP==+=丁•则直线AP必经过△ABC的内心等等有用的结论。IABIIACI【易错点3］忽视向量积定义中对两向量夹角的定义。例3、已知AABC中，二&c=7，求氏•鬲［易错点分析】此题易错误码的认为两向量荒和鬲夹角为三角形ABC的内角C导致错误答