向量的几何意义.doc

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1、向量的几何意义向量的概念始终贯穿当代科学的主要内容中，也始终贯穿线性代数的主要内容中，所以我们不妨回顾回顾这个概念的几何意义，以期更清晰地理解线性代数的几何本质。2.1向量概念的几何意义自由向量的概念向量（Vector）和标量的概念是发明四元数的爱尔兰数学家W。R。哈密尔顿给出的。向量是一个既有大小又有方向的量，这个量本身就是个几何的概念。我们常常把它与标量（只有大小的量）相区别。抓住向量的大小和方向这两个特征，一般用一个有向线段来表示一个向量(显然，向量本身就是一个几何图形)，记为ABuuur或者

2、α。如下图：在物理学中，也把向量叫矢量，矢就是箭，向量如一根箭一样有头部和尾部，箭在空间自由的飞行中箭杆的长度不会变，这一点与向量相同；但箭在重力的作用下会改变方向，但一个确定的向量不允许改变方向，一个向量改变了方向就变成了另外一个向量了。所以向量的“飞行”称为平移，这种在一条直线上平移的向量称为自由向量（物理学中常称为滑动向量）。0沿着直线飞行的箭簇在每一时刻所表示的无数向量归属于同一个向量，这些无数的向量实际上是平行的向量。另外还有不在一条直线上的平行而相等的向量，如下的例子：考察一个刚体的平行

3、移动。当刚体从一个位置平行移动到另一个位置时（比如说这个刚体是麦吉小姐过河坐的小船，小船从河流的一边驶向对岸），刚体上各质点在同一时间段内有相同的位移，各点所画出的位移向量a有相同的大小和方向，他们每一个都反映了刚体位移的情况，因此刚体的平移运动可以用这些向量中的任一个来表示。基于这样的原因，凡是两个向量大小相等、方向相同的，我们就说这两个向量是相等的。因此，一个向量在保持长度和方向不变的条件下可以自由平移。如有必要，也可以将几个向量平移到同一个出发点或者坐标原点。a水流速度向量船速向量aaa从上面

4、的例子，我们感悟到自由向量为何可以是自由的。实际上，就是因为向量没有确定的位置，它们不依赖于任何坐标系而存在。因此从逻辑上看，无数的向量可能有相同的表述，所有的这些向量都互相平行，相等，并具有相同的量值和方向。向量的数学表示向量的数学表示一般是用小写的黑体字母a、b、c等表示。当手写时因为黑体的粗笔画书写不方便，因此常在字母上面加上箭头来与其它字母区别，如ar、、cr。以上的表示不便计算，如何对向量象数字一样进行运算呢？因为在数学学科中，向量被处理为自由向量，为了与解析技术所用的坐标联系起来，我们把

5、空间中所有的向量的尾部都拉到坐标原点，这样N维点空间可以与N维向量空间建立一一对应关系：N维点空间中点(0，0，0…0)取作原点，那么每一个点都可以让一个向量和它对应，这个向量就是从坐标原点出发到这个点为止的向量。注：向量被看作线性空间或向量空间中的一个元素。但向量与点不同，向量表示的是两点之间的位移而不是空间中的物理位置；向量还可以确定方向，而一个点就不能。其实，一旦我们确定好一个坐标系，一个向量就与一个点相对应，而点用所谓坐标的有序数组表示的，因此我们就也可以把向量用有序数组表示。有了有序数组就

6、可以运算了。使用有序数组或者解析式表述的向量是把以原点为起点的向量末端的坐标值表示，并把坐标值用圆括号括起来，如(,,)xyz=v。在这里这个有序数组(,,)xyz称之为向量。在二维平面上，由原点引出的向量用两个有序实数表示；在三维空间中，由三个有序数表示三维向量。那么n维向量就可以由以上二维和三维向量的定义推广得到。虽然n维向量的几何意义难以想象，但其现实意义我们还是可以把握的。比如，在三维空间中，我们只要知道一个球的球心位置和半径的大小就可以确定这个球面。把球心坐标和半径值写成有序数组，我们就得

7、到了一个四维向量。321-1-2一个向量可以被分解为三个单位坐标向量的线性表示（实际上这个概念很重要，在今后的向量的运算和矩阵运算理解中起着关键作用）。例如向量(分解如下：1,1,1)(1,1,1)(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)=++=+ijk如下图，把单位坐标向量,,ijk分别首尾连接相加，就得到了的图像。(1,1,1)那么，任意一个向量(,,)xyz=v就可以表示为(,,)xyzxyz==++vijk，即单位坐标向量的线性表示。显然，分别对单位坐标向量进行缩放,,xyz倍然后相加，就

8、得到了这个向量(,,)xyz的图像。和上图相似，我们就可以得到了如下的任意一个向量的分解图像。向量的运算有加法、减法和乘法，乘法有三种，但没有除法。下面我们分别介绍这些运算的细节。2.2向量的加法的几何及物理意义设两个向量a和b，它们的二维分量解析式为(,)xyaaa=，(,)xybbb=；三维分量的解析表达式为(,,)xyzaaaa=，(,,)xyzbbbb=。则我们定义这两个向量的加法为(,xxyyabab+++ab=，或者(,,xxyyzzababab++++a