信号和系统的频域分析

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1、第2章信号和系统的频域分析2.1引言2.2序列的傅里叶变换2.3周期序列的离散傅里叶级数2.4时域离散信号的FT与模拟信号的FT的关系2.5序列的Z变换2.6利用Z变换分析信号和系统的频域特性2.1引言我们知道信号和系统的分析方法有两种:时域分析方法,频率分析方法。时域分析方法相当于用肉眼直接看水,频域分析方法相当于用化学分析方法间接看水。时域分析频域分析f(t)F(Ω)x(n)X(ejω)在模拟领域:系统用微分方程、拉普拉斯变换和傅里叶变换描述。在离散领域:系统用差分方程?、Z变换?和傅里叶变换?描述。连续信号和系统的离散信号和系统的频域分析频域分析2.2序列的傅里叶变换

2、的定义及性质2.2.1序列傅里叶变换的定义FT[x(n)]=IFT[X(ejω)]=x(n)=序列的傅里叶变换序列的傅里叶反变换例2.2.1设x(n)=RN(n),求x(n)的FT。解:设N=4,X(ω)的幅度与相位随ω变化曲线如图2.2.1所示。注意观察它的周期性?。图2.2.1R4(n)的频谱的幅度与相位曲线2.2.2序列傅里叶变换的性质1.FT的周期性在定义(2.2.1)式中,n取整数,因此下式成立M为整数(2.2.6)它说明序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数,周期是2π。在ω=0和ω=2πM附近的频谱分布是相同的。在ω=0,±2π,±4π,···点上表示信号x(n)

3、的直流分量,在ω=±π,±3π,±5π,···点上表示信号x(n)的高频分量?。例如:信号x(n)=cos(ωn),当ω=2πM时它没有变化,当ω=2πM+π时它变化最快,用图表示如图2.2.2。图2.2.2cos(ωn)的波形2.FT的线性那么设式中a,b为常数。3.FT的时移与频移设X(ejω)=FT[x(n)],那么证明方法:令l=n-n0(2.2.7)(2.2.8)(2.2.9)例2.2.2试分析x(n)=ejωn的对称性解:将x(n)的n用-n代替,再取共轭得到:x*(-n)=ejωn因此x(n)=x*(-n),满足(2.2.10)式,x(n)是共轭对称序列,如展

4、成实部与虚部,得到x(n)=cos(ωnJ)+jsin(ωn)由上式表明,共轭对称序列的实部确实是偶函数,虚部是奇函数。一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示,即x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.16)式中xe(n)和xo(n)可以分别用原序列x(n)求出:(2.2.18)(2.2.19)对于频域函数X(ejω)也有和上面类似的概念和结论:X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)(2.2.10)共轭对称部分Xe(ejω)=Xe*(e-jω)(2.2.21)共轭反对称部分Xo(ejω)=-Xo*(e-jω)(2.2.22)(2..23)(2.2.24)对称性

5、(a)若x(n)=xr(n)+jxi(n),对该式进行FT,得到xr(n)→Xe(ejω)jxi(n)→Xo(ejω)(b)若x(n)=xe(n)+xo(n),对该式进行FT,得到xe(n)→XR(ejω)xo(n)→jXI(ejω)用途:加快DFT,节约计算机资源x(n)→X(ω)=x1+jx2→=X1+jX2X1=Xe=(X(ω)+X*(-ω))/2X2=-jXo=-j(X(ω)-X*(-ω))/25.FT的时域卷积定理设y(n)=x(n)*h(n),则Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)(2.2.32)6.FT的频域卷积定理设y(n)=x(n)·h(n)(2.2.

6、33)则2.3周期序列的离散傅里叶级数定义设是以N为周期的周期序列,则离散傅里叶级数为物理意义周期序列可以分解成虚指数序列(俗称谐波分量,简称谐波)的线性组合。指数的表示谐波经过单位序号所转过的角度,所以是谐波的角频率,简称数字角频率。X(k)表示各次谐波的幅度和初始相角,简称频谱。因为计算机处理FT的正反变换同用一个程序,所以时域和频域的点数相同。例2.3.1设x(n)=R4(n),将x(n)以N=8为周期,进行周期延拓,得到如图2.3.1(a)所示的周期序列,周期为8,求的DFS。解:按照定义例2.3.1图习题2的解:1建立数学模型FT的反变换表达式为x(n)=因为MA

7、TLAB是做数值计算的,所以改写表达式x(n)=写成MATLAB程序DSP7.mclear,N=200;%0到pi的频分点数dw=pi/N;w=[1:N]*dw;%角频率的间隔X=[ones(1,N/2),zeros(1,N/2)]*pi;%给出频谱函数ln=200;%给出序列的正长度n=0:ln;%给出序列的正序号x=X*exp(j*w‘*n)*dw/pi;%求X(w)的傅里叶反变换subplot(2,1,1),plot(w,X),gridtitle('频谱X(w)的波形图')xlabel(‘w/弧度'),yla

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