有理函数的不定积分.doc

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1、有理函数的不定积分1.有理函数的积分　　　　有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，一般形式为　　　　　　　　其中都是常数，为非负整数。　　我们只需考虑真分式的积分，先来考虑两种特殊类型：　　（Ⅰ）　　这种类型是容易积出来的，　　　　　　　　　　　（Ⅱ）　　　作适当换元（令）,可化为　　　　　　　　　上式右端第一个不定积分可用凑微分法积出来为：　　　　　　　　　对第二个不定积分，记　　　　　　　　　　　用分部积分法可导出递推公式：　　　　　　　　　　　整理得　　　　　　　　　　　重复使用递推公

2、式，最终归结为计算而可积出来为　　　　　　　　　　　这样就可完成对不定积分（Ⅱ）的计算。　　对任一个有理函数而言，均可写成一个多项式与一个有理真分式的和，而多项式的积分问题已经解决，下面主要考虑有理真分式(不妨设)的积分问题。方法是将化成许多简单分式（即类型（Ⅰ）、（Ⅱ））的代数和然后逐项积分。由于类型（Ⅰ）、（Ⅱ）总是可“积出来”的，从面有理函数总是可以“积出来”。　　下面简述分解有理真分式（）的步骤：　　第一步按代数学的结论，将分母分解成实系数的一次因式与二次因式的乘幂之积。　　　　　　　　　　

3、其中均为自然数。　　第二步根据因式分解结构，写出的部分分式的待定形式：对于每个形如的因式，所对应的部分分式为　　　　　　　　　　　对于每个形如的因式，所对应的部分分式为　　　　　　　　　　把各个因式所对应的部分分式加起来，就完成了对的部分分式分解。　　第三步确定待定系数：通分后比较分子上的多次式的系数，得待定系数的线性方程组，由此解得待定系数的值。　　例6.12求　　解：（1）分解被积函数为部分分式　　　　　　　　　　故　　　　　　　　　比较两边系数可求得　　　　　　　　　(2)积分部分分式得　　　

4、　　　　　　　２.三角函数有理式和积分　　由及常数经过有限次四则运算所得的函数称为关于的有理式（或三角函数有理式）。用表示对于这种函数的不定积分我们总可通过代换，化为以为变量的有理函数的积分。这是因，由万能公式有　　　　　　　　　　又　，故从而　　　　　　　　　　　上面的讨论说明：三角函数有理式也总是可以“积出来”的，但对具体问题而言，用上述方法往往计算量太大，因此，有时要考虑用其它简便方法。　　至此，我们看到有理函数或三角函数有理式总是可以“积出来”，亦即其不定积分(或原函数)总是可以用初等函数表

5、示出来。但要注意的是，并非每个初等函数的原函数还是初等函数。如下面的一些看似简单的不定积分　　　　　　　　　　虽然存在，但却无法用初等函数表示，这已被刘维尔(Liouville)于1835年证明。