有理函数的不定积分

《有理函数的不定积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§7.3有理函数的不定积分一、有理函数的部分分式分解有理函数的定义有理函数：是指两个多项式的商表示的函数其一般形式为:其中及为常数，且，。有理函数的分类（次数）1、n

2、定积分的关键假分式=多项式+真分式因为多项式的不定积分易求，所以求有理数不定积分的函关键在于求有理真分式的不定积分.因此，我们仅讨论有理真分式的积分.先介绍代数学中两个定理：多项式的因式分解定理分项分式定理（部分分式展开定理）多项式的因式分解定理任何次数大于0的实系数多项式都可以分解为实系数一次和二次不可约因式的乘积：其中都是正整数分项分式定理有理真分式必定可以表示成若干个简单部分分式之和，即例如因此任意有理函数的积分问题就都归结为求以下两种类型不定积分1、2、求常数的方法----待定系数法方法一:(比较

3、系数法)把(*)式等号右端所有分式通分相加,得由于(*)式等号两端的分母都是Q(x)，所以通分后所得分式的分子与原分子F(x)应该相等，即或F(x)≡H(x)F(x)≡H(x)F(x)与H(x)同次幂系数相等根据两个多项式相等时同次项系数必定相等的原则,得到待定系数所满足的一次线性方程组,由此求解方程组,就求出了这些待定常数方法二：使用“赋值法”简化对待定系数的求解.部分分式分解具体步骤简述如下:1.对分母Q(x)在实数系内作标准分解:第二步2.根据分母各个因式结构分别写出与之相应的待定部分分式.第三步：

4、待定系数的确定：（1）解线性方程组法(比较系数法)；把所有部分分式加起来,通分，根据两个多项式相等时同次项系数必定相等的原则,得到待定系数所满足的线性方程组,求解方程，由此确定上述部分分式中的待定系数（2）特殊值法(赋值法)；例题讲解例1将分成分项分式例2将分成分项分式例3将分成分项分式解设于是练习将下列真分式分解为部分分式:并将A、B值代入取取取有理函数的不定积分根据分项分式定理，任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形式的不定积分之和：下面分别求这两类不定积分：有理真分式的递推公式由此可知这两类积分

5、均可积出,且原函数都是初等函数.结论有理函数的原函数都是初等函数.例题例4求解：例5求例6求例7求随堂练习小结：1、有理函数的原函数一定是初等函数有理函数的不定积分总能“积”出来，即有理函数的不定积分总能用初等函数表示出来，有理函数存在初等函数的原函数(不定积分).这是有理函数的一个理想的性质.如果求一个函数的不定积分，只要选择适当的换元，将被积函数转化为有理函数，那么这个不定积分总能“积”出来，这种方法也叫“有理化法”2、求有理函数不定积分的步骤：(1)、若被积函数是有理假分式，则通过多项式除法，把它化

6、成多项式+有理真分式；(2)、用部分分式展开定理把有理真分式化成若干个简单分式之和，用比较系数法或赋值法求出各待定系数;(3)、求出各个简单分式的不定积分，则有理函数的不定积分=多项式的不定积分（若是有理假分式，则必有此项积分）+各个简单分式的不定积分。