有理函数和可化为有理函数的不定积分

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1、《数学分析》教案§3有理函数和可化为有理函数的不定积分一有理函数的不定积分有理函数的一般形式为：。其中为非负整数，与都是常数，且。若，则称为真分式；若，则称为假分式。结论：假分式=多项式+真分式。因此，对有理函数的积分，只要讨论真分式的积分即可。重要结论：任何一个有理真分式必定可以表示为若干个形如（称为部分分式）：（1）；（2）；（3）；（4）。的真分式之和，其中A，B，为常数，为正整数。因此，对有理真分式的积分只要讨论上述四种形式的真分式的积分即可。（1）。（2），。（3），令，并记，，则。（4）同（3）可得

2、，。《数学分析》教案记，则=，于是，有递推公式。将这些结果代回，即可求得所求积分。例1求。解：因本题中，被积函数的分母不能再分解，故；而；；又；故。课堂练习：（3）、（5）。二三角有理式的不定积分由，及常数经过有限次四则运算所得到的函数称为关于，的有理式，并记为《数学分析》教案。对于三角有理式的不定积分。一般通过变换（万能变换），可把它化为有理函数的积分：；；；故。例2求。注意：上述变换对三角有理式的不定积分总是有效的，但并不一定是最好的变换，在实际计算中要注意选择不同的变换。1)若则可令如求2)若，则可令，如

3、求。3)若，则可令，如P195例4。三某些无理根式的不定积分1．型的不定积分。只要令就可有理化。例3求。说明：用下面的方法计算本题较为简单。例4求。解：令即可有理化，（略）。说明：用下面的方法计算本题较为简单《数学分析》教案。2．型不定积分时，，时，。一般地，当时，令即可将积分有理化之；当时，令即可将积分有理化之。以上两种变换均称为欧拉变换。注意：初等函数的原函数不一定是初等函数，因此，在初等函数的范围内，某些初等函数的原函数是不存在的，即使该函数可积（见教材P198）。