§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分.ppt

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1、§8.3有理函数和可化为有理函数的不定积分§3有理函数和可化为有理函数的不定积分一、有理函数的部分分式分解本节给出了求有理函数等有关类型的四、某些无理函数的不定积分三、三角函数有理式的不定积分二、有理真分式的递推公式不定积分的方法与步骤.返回有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数,一、有理函数的部分分式分解m>n时称为真分式,m≤n时称为假分式.假分式可化为一个多项式和一个真分式之和.其一般形式为:1.对分母Q(x)在实数系内作标准分解:2.根据分母各个因式分别写出与之相应的部分分分解步骤称为部分分式分解.具体步骤简述如下:真分

2、式又可化为与之和,其式.对应于的部分分式是把所有部分分式加起来,使之等于Q(x),由此确定对应于的部分分式是上述部分分式中的待定系数Ai,Bi,Ci.3.确定待定系数的方法把所有分式通分相加,所得分式的分子与原分子分式分解.组,由此解出待定系数.必定相等的原则,得到待定系数所满足的线性方程P(x)应该相等.根据两个多项式相等时同次项系数例1作部分比较同次项系数,得到线性方程组解得于是完成了R(x)的部分分式分解:任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形二、有理真分式的递推公式下面解这两类积分.式的不定积分之和：解得解由例1,例2其

3、中于是例3解由于而由递推公式于是sinx,cosx及常数经过有限次四则运算得到的函三、三角函数有理式的不定积分有理函数的不定积分.把数R(sinx,cosx)称为三角函数有理式.代入原积分式，得到例4解对三角函数有理式的不定积分,在某些条件下还可选用如下三种变换,使不定积分简化.例5解例6解四、某些无理函数的不定积分例7解由于例8解型不定积分时也可直接化为有理函数的不定积分.可用多种方法化为三角函数有理式的不定积分,有把它们转化为三角函数有理式的不定积分.方法2(欧拉变换)例9解用方法1:因此例10解注1对于本题来说,方法2显然比方

4、法1简捷.但实质上只相差某一常数而已.注2由以上两种方法所得的结果,形式虽不相同从而有注虽然初等函数都是连续函数,从而它们都存在都不是初等函数,因此都不可能用我们介绍的方例如原函数,但并非初等函数的原函数都是初等函数.法把它们的原函数求出来.