导数在研究函数中的应

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1、第十二节　导数在研究函数中的应用一、函数的单调性与导数1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系(1)若，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若，则f(x)在这个区间内是常数．2．利用导数判断函数单调性的一般步骤(1)求；(2)在定义域内解不等式；(3)根据结果确定f(x)的单调区间．f′(x)>0f′(x)<0f′(x)＝0f′(x)f′(x)>0或f′(x)<0二、函数的极值与导数1．函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)

2、＝0，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．f′(x)<0f′(x)>0f′(x)>0f′(x)<0[疑难关注]1．f′(x)>0与f(x)为增函数的关系f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f

3、(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件．2．可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，如函数y＝x3在x＝0处有y′

4、x0＝0＝0，但x＝0不是极值点，此外不可导的点也可能是函数的极值点．1．(课本习题改编)函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3处取得极值，则a＝()A．2B．3C．4D．5解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3.∵函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3处有极

5、值．∴f′(－3)＝0.3×9－6a＝0.∴a＝5.答案：D答案：C3．(2012年高考陕西卷)设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点解析：利用导数的乘法法则求解．∵f(x)＝xex，∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．∴当f′(x)≥0时，即ex(1＋x)≥0，即x≥－1，∴x≥－1时函数y＝f(x)为增函数．同理可求，x<－1时函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．答案：D4．(课本习题改编)已知f(x)＝x3

6、－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是________．解析：f′(x)＝3x2－a，在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0，∴f′(1)≥0，即3×1－a≥0.∴a≤3.答案：35．(2013年皖南八校联考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为函数f(x)有极大值和极小值，所以f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，解得a<－3或a>6.答案：a<－3或a>6考向一　函数的单调性与导数[例1](20

7、12年高考北京卷改编)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间．[解析](1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．1．(2013年郑州模拟)若函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是________．此时g′(x)，g(x)

8、随x的变化情况如下表：考向三　函数单调性与极值的综合问题[例3](2012年高考浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝4x3－2ax＋a.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当0≤x≤1时，f(x)＋

9、2－a

10、>0.[解析](1)由题意得f′(x)＝12x2－2a.当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．【思想方法】分类讨论思想在导数中的应用【典例】(2012年高考新课全国标卷)设函数f(x)＝ex－ax－2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大

11、值．【思路导析】(1)确定定义域后求f′(x)，解f