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时间:2018-12-01
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1、第十二节 导数在研究函数中的应用一、函数的单调性与导数1.函数f(x)在某个区间(a,b)内的单调性与其导数的正负有如下关系(1)若,则f(x)在这个区间内单调递增;(2)若,则f(x)在这个区间内单调递减;(3)若,则f(x)在这个区间内是常数.2.利用导数判断函数单调性的一般步骤(1)求;(2)在定义域内解不等式;(3)根据结果确定f(x)的单调区间.f′(x)>0f′(x)<0f′(x)=0f′(x)f′(x)>0或f′(x)<0二、函数的极值与导数1.函数的极小值函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在x=a附近其它点的函数值都小,f′(a)
2、=0,而且在点x=a附近的左侧,右侧,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.2.函数的极大值函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧,右侧,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.f′(x)<0f′(x)>0f′(x)>0f′(x)<0[疑难关注]1.f′(x)>0与f(x)为增函数的关系f′(x)>0能推出f(x)为增函数,但反之不一定.如函数f
3、(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0,所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件.2.可导函数的极值点必须是导数为0的点,但导数为0的点不一定是极值点,即f′(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件,如函数y=x3在x=0处有y′
4、x0=0=0,但x=0不是极值点,此外不可导的点也可能是函数的极值点.1.(课本习题改编)函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3处取得极值,则a=()A.2B.3C.4D.5解析:f′(x)=3x2+2ax+3.∵函数f(x)=x3+ax2+3x-9,在x=-3处有极
5、值.∴f′(-3)=0.3×9-6a=0.∴a=5.答案:D答案:C3.(2012年高考陕西卷)设函数f(x)=xex,则()A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点解析:利用导数的乘法法则求解.∵f(x)=xex,∴f′(x)=ex+xex=ex(1+x).∴当f′(x)≥0时,即ex(1+x)≥0,即x≥-1,∴x≥-1时函数y=f(x)为增函数.同理可求,x<-1时函数f(x)为减函数.∴x=-1时,函数f(x)取得极小值.答案:D4.(课本习题改编)已知f(x)=x3
6、-ax在[1,+∞)上是单调增函数,则a的最大值是________.解析:f′(x)=3x2-a,在x∈[1,+∞)上f′(x)≥0,∴f′(1)≥0,即3×1-a≥0.∴a≤3.答案:35.(2013年皖南八校联考)已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是________.解析:f′(x)=3x2+2ax+(a+6),因为函数f(x)有极大值和极小值,所以f′(x)=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4a2-4×3(a+6)>0,解得a<-3或a>6.答案:a<-3或a>6考向一 函数的单调性与导数[例1](20
7、12年高考北京卷改编)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间.[解析](1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b,因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)=g(1),且f′(1)=g′(1).1.(2013年郑州模拟)若函数f(x)=mx2+lnx-2x在定义域内是增函数,则实数m的取值范围是________.此时g′(x),g(x)
8、随x的变化情况如下表:考向三 函数单调性与极值的综合问题[例3](2012年高考浙江卷)已知a∈R,函数f(x)=4x3-2ax+a.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+
9、2-a
10、>0.[解析](1)由题意得f′(x)=12x2-2a.当a≤0时,f′(x)≥0恒成立,此时f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).【思想方法】分类讨论思想在导数中的应用【典例】(2012年高考新课全国标卷)设函数f(x)=ex-ax-2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f′(x)+x+1>0,求k的最大
11、值.【思路导析】(1)确定定义域后求f′(x),解f
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