多元函数的微分法及其应

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1、第九章多元函数的微分法及其应用第一节多元函数的基本概念一、平面点集n维空间二、多元函数概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性一、平面点集n维空间1、平面点集坐标平面上具有某种性质p的点的集合称为平面点集，记作坐标平面：建立了直角坐标系的平面点以点P表示(x,y)，

2、OP

3、表示点P到原点O的距离，那么=平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是邻域：去心邻域平面点集设为坐标平面上的一点，那么，点与集之间有怎样的关系？只有下面三种关系。(1)内点:如果存在点P的某个邻域，使得则称P为E的内点.(2)外点：如果存在点P的某个邻域，使得，则称P

4、为E的外点.(3)边界点：如果点P的任一邻域内既含有属于E的点，也含有不属于E的点，则称P为E的边界点.E的边界点的全体称为E的边界，记为.例,求的内点和边界点聚点：如果对于任意给定的，点P的去心邻域内总有E中的点，则称P是E的聚点.点集E的聚点P，可能属于E，也可能不属于E.例点是的聚点，但圆周上的点都是的聚点，也属于.说明开集:如果点集E的每一点都是内点，则称E为开集.闭集：如果点集E的余集为开集，则称E为闭集.为开集连通集：如果点集E内的任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于E，则称E为连通集.区域(或开区域)：连通的开集称为区

5、域（或开区域).是开集，又是连通集闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.有界集：对于平面点集E，如果存在某一正数r，使得，其中O是坐标原点，则称E为有界集.无界集：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集.集合是有界闭区域例如，集合是无界开区域例如，集合是无界闭区域例如，2、n维空间在解析几何中，我们知道类似地，采用这一记号，结合向量的线性运算，得在n维空间中定义了距离以后，就可以定义中变元的极限：则称变元在中趋于固定元，记作如果设在n维空间中定义了距离以后，就可以类似地定义中的邻域的概念.这样，内点，外点，边界点，聚点，区域等

6、概念都可定义.聚点的性质：二、多元函数的概念定义1设D是的一个非空子集，称映射f：为定义在D上的二元函数，通常记为或点集D称为该函数的定义域，x、y称为自变量，z称为因变量。1、二元函数的定义与自变量x、y的一对值（即二元数组）(x,y)相对应的因变量z的值，称为f在点(x,y)处的函数值，记作即与一元函数类似，记号f与f(x,y)的意义但是，习惯上常用记号来表示D上的二元函数f.是不同的，或把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集D，映射就称为定义在D上的n元函数，通常记为也可记为或简记为注2一般地，在讨论用算式表达的多元函数时，就以使算式有

7、意义的变元的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域。注1例1矩形的面积和它的长x、宽y的关系为：例2圆柱体的体积V和它的底半径R、高h的关系为：例3解在上述函数概念中，关键的两点为:(1)点(x,y)的变化范围，称为定义域；(2)对应法则，即函数关系.关于函数概念，我们主要研究下面三个问题：(1)求函数的定义域；(2)建立函数关系；(3)求函数值.注意：二元函数z=f(x,y)中，自变量在定义域内的取值是独立的，即x的取值与y的取值没有必然的联系.例4要使ln(y−2x)有意义，解：即y>2x所以，定义域：须使y−2x>0例5求函数的定义域.解

8、：有意义，须使2、二元函数的几何意义：设二元函数z=f(x,y)的定义域为xoy面上的某一区域D，对于D上的每一点P(x,y)，在空间可以作出一点M(x,y,f(x,y))与它对应；当点P(x,y)在D中变动时，点M(x,y,f(x,y))就在空间作相应地变动，它的轨迹是一个曲面.例如：方程所确定的函数z=f(x,y)的图形是：一个球心在原点，半径为1的球面.图形：旋转抛物面图形：平面作业P62，习题9-11，2，4，5（单)