多元函数微分法及其

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1、第八章多元函数微分法及其应用习题课（一）多元函数微分法一、多元函数的基本概念1.极限：2.连续：3.偏导数：4.全微分：5.方向导数：6.梯度：二元函数在点沿方向的方向导数为若，，则称函数在点可微分，函数在点全微分为二、多元函数连续、可导、可微的关系函数连续函数可导函数可微偏导数连续三、多元函数的求导法1．偏导数求法2．高阶偏导数求函数的偏导数时，只要把暂时看作常量而对求导数；类似地，可求函数的偏导数。3．多元复合函数求导法则zuvtzuvxy(1)设和在点可导，在对应点处可微，则复合函数在点处可导，且(2)设和存在偏导数，在对应点处可微，则复合函数在偏导

2、数存在,且4．隐函数的导数①由方程确定一个连续且具有连续导数的函数,则有②由方程确定一个连续且具有连续偏导数的函数，则有5．全微分的求法微分形式的不变性：6．方向导数的求法当，而、时，有其中是方向的方向余弦。四、典型例题【例1】求极限解：【例2】求极限解法1：解法2：作变量代换，令当时,任意,则分析：在二重极限的定义中,动点在中趋向点与一元函数的自变量在数轴上的变化不同,它可以区域内沿着不同的路线(如曲线或直线等)和不同方式(连续或离散),从四面八方趋近于点,二元函数在点的极限都是.反之,动点沿着两条不同的路线(或点列)趋近于点,二元函数有不同的极限,则二元

3、函数在点的极限不存在.【例3】设判断的存在性。解：因为当点沿轴趋向于点时,又当点沿着直线趋于点时,所以的极限不存在。【例4】设二元函数,判别在点处的连续性。分析：在点处的连续性,应满足.解：因为当点沿轴趋于点时,又当点沿着直线趋于点时,所以，函数在原点的极限不存在，因此，在原点不连续.【例5】设,则在点处连续，但在点处对和的偏导数不存在.而点为的分界点,求偏导数需用偏导数定义。分析：在点处的连续性,应满足.不存在不存在解：因为,而,所以在点处连续.所以,在点处对和的偏导数不存在.解:因为【例6】*设函数,判断在原点处的可微性.分析:多元函数在一点可微与否？关

4、键是要判别是不是的高阶无穷小?如果,则函数在该点可微,否则函数在该点不可微.但反过来,多元函数在某一点可微,函数在该点对各个变量偏导数存在,即函数偏导数存在是函数可微的必要条件。所以又因为当沿着特殊的路线,,所以因此，在原点不可微.解：【例7】求函数的偏导数.分析：因为函数为三元函数，所以，应分别求对的偏导数。解：根据复合函数求偏导法则得【例8】设,而,,求和.分析：先确定是几元函数，然后分别求导，求出全微分，也可利用全微分形式的不变性。解法1：【例9】求函数的全微分.解法2：由微分形式的不变性【例10】设,其中具有二阶连续偏导数，求分析：求抽象复合函数的二

5、阶偏导数，最需要注意的一点是一阶偏导数(及)仍旧是复合函数，且与函数具有同样的中间变量与自变量。解法1：设,则zuvxy解法2：若记则利用隐函数的求导公式得解:令,则【例11】设,求.分析：如果令,则由方程确定了是的函数,求用隐函数求导法。但在求二阶混合偏导时，应采用直接求导法。计算时，我们采用在方程两边同时对求偏导的方法,并视为的二元函数,得【例12】设是方程所确定的与的函数,求分析：如果令,则由方程确定了是的函数，求用隐函数求导法。但在求二阶混合偏导时，应采用直接求导法。解:令,则分析：求方向导数需求出偏导数及方向余弦，然后代入方向导数公式计算即可。则曲

6、面的法向量为解：设,方向余弦为【例13】设是曲面在点处的指向外侧的法向量,求函数在此处沿方向的方向导数.故分析：梯度是取得最大方向导数的方向，所以只需求出梯度。解：沿梯度方向的方向导数最大。梯度为所以方向导数的最大值为【例14】问函数在点处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值。