例谈从二次函数中培养学生的直觉思维

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1、例谈从二次函数中培养学生的直觉思维骆银海（牌头中学浙江诸暨311825pzluoyh@zjjy.com）数学思维可以分为逻辑思维和直觉思维，逻辑用于证明，直觉用于发明。新课标非常强调学生创新意识与创新能力的培养，直觉思维是数学创造与创新的基础。因此，如何培养学生的数学直觉思维至关重要。从解题教学来看，数学直觉思维也可理解为一拿到题目时的题感，题感在一定程度上是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断通过训练提高的，我们常说“艺高人胆大！”实际上数学还有“胆大人艺高！”二次函数作为中学生应用最广泛

2、的初等函数，也是最简单的非线性函数，具有许多优美的性质，是数学命题老师感兴趣的考点。题目中背景设计之精巧、过程之流利、答案之美妙常引起师生的共鸣！笔者有幸参与了诸暨市说题展示和浙江省数学教师教学能力评比与观摩活动，颇有一点体会：在解决二次函数问题中可大力培养学生的直觉思维，也就是说增强学生拿到题目时的题感，迅速接近解出正确答案的思路和方法，举例如下：例1（诸暨市说题展示例题）已知函数，若且，求的取值范围。X对称轴x=1x2x1(1,4)分析：由题意分析并结合作图可知：可设直觉思维培养：由数形结合可知，

3、当猜想：答案就是其实，随着f(x)不断变大，变小，变大，但变化都是连续的，可以得出是关于t的递减函数，证明：故的取值就是f(x)趋向于0和4时两个极端位置时的取值：即反思：本题也为诸暨市高三数学二模考试试题，当时准确率不怎么高，有些同学做了很长时间，也没求对；做对的有些同学是一拿到题目时，题感较好，马上就找感觉想到：是否存在两个极端位置？5，很快就有了答案！可见，数学直觉思维活动在时间上表现为快速性，即它有时是在一刹那间完成的；在过程上表现为跳跃性；在形式上表现为简约性，简约美体现了数学的本质。直觉思

4、维是一瞬间的思维火花，是长期积累上的一种升华，是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化。　　不仅仅是二次函数背景中可考虑直觉思维，类似对数图像背景也如出一辙！10年高考全国卷就是这样设计的：X1abOY【发散】（2010全国卷Ⅰ第10题）已知函数F(x)=

5、lgx

6、,若0

7、选A,这也是命题者的用苦良心之处.因为f(a)=f(b),所以

8、lga

9、=

10、lgb

11、,所以a=b(舍去)，或，所以a+2b=又0f(1)=1+=3,即a+2b的取值范围是(3,+∞).直觉思维培养：是没有问题的！若能考虑到a+2b的最小值是：f(a)=f(b)→0时取到，那本题解题不就是很容易了吗？再结合简单扼要的证明，那解题就变的是既快又准确，可以体会到直觉思维给我们带来的好处！(3,4)x

12、=1X1X(0,0)(1,-1)例2（2008浙江高考第15题）t为常数，函数在区间上的最大值为2，求t的值。分析：由函数的对称轴是x=1，且，可得。经分析可知，f(x)在区间上的最大值是f(1)或f(3)。若，则：,即当时，，解得t=1;若，则：即当时，，解得t=1;综上所述，t=1。直觉思维培养：5本题是一个二次函数加一个绝对值函数的题目，-t实质是对原先函数的上下平移，结合学导数时：可知：由于对称轴x=1在所研究的区间内，则翻折后无论产生怎么样的形状，f(x)取到的最大值必定产生于端点值f(0)

13、和f(3),及极值f(1),即，作图分析：当f(x)=2时,由直觉思维便可知,t=1时满足题意！t31o-1f(x)=2反思：直觉思维是基于研究对象整体上的把握，不专意于细节的推敲，是思维的大手笔。想象需要是丰富的，发散的，知识点是窜起来的，使人的认知结构向外扩展，因而具有反常规律的独创性。例3（2010年浙江省数学教师教学能力评比与观摩活动例题）已知二次函数，且方程有两个小于1的不等正根，求a的最小值。分析：法一：作如图x1X2X1o1cy利用根的分布可知：5x1oy(1,1)(0,1)法二:由题意

14、可知，可设出两点式：且：直觉思维培养：作如上图，根据知，若图像恰好过（0,1）、（1,1）两点且图像与x轴相切时，可设此时的函数解析式为，图像过（0,1）、（1,1）进而求出a=4,但没有满足题目意思，那怎么样对这极端位置的图像进行变换和平移能满足题意呢？由数形结合知:只进行上下平移，无论如何都满足不了题意，只有对图像进行拉伸变换，我们知道二次函数中一次项系数b和常数项c只影响到抛物线的具体位置，抛物线的具体形状只是由二次项系数a决定的，观察图像可知，为