《高等工程力学》1超静定结构内力计算

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1、1超静定结构内力计算目录1超静定结构内力计算1.1力法1.2位移法1超静定结构内力计算1.1力法§1.1.1力法的基本原理力法是计算超静定结构的一种基本方法。基本原理是：首先将超静定结构中的多余联系去掉，代之以多余未知力；相应于每一个多余联系，就有一个多余未知力。去掉多余联系后，超静定结构就变成在荷载和多余未知力共同作用下的静定结构。力法的基本体系：从超静定结构中去掉多余联系而代之以未知力，这样获得的静定的几何不变体系。基本未知数：多余未知力。基本体系的选择：拟定出去掉多余联系的各种可能方案，选择其中一个作为基本体系。基本体系应该是几何不变的。选择基本体系的原则应使计算尽可能简单

2、和方便。1超静定结构内力计算§1.1.1力法的基本原理（续1）例题。图1-1可根据B支座截面的位移条件来计算未知力X1、X2和X3。计算依据是基本体系中B截面在荷载和未知力共同作用下的位移应与原结构该截面实际的位移相同。1超静定结构内力计算§1.1.1力法的基本原理（续2）三个位移条件，可以表示为三个方程式(1-1)令Δ11＝δ11X1，Δ12＝δ12X2，Δ13＝δ13X3，公式（1-2）就可以改写为：(1-3)(1-2)解此联立方程式便可以求出未知数X1、X2、X3。1超静定结构内力计算§1.1.1力法的基本原理（续3）如对于有n个多余未知力的结构，力法典型方程式为(1-4)

3、式中Xi——第i个多余未知力；δik——当Xk＝1时引起基本体系Xi力作用点沿Xi方向的位移。Δip——荷载作用下基本体系Xi力作用点沿Xi方向的位移。δii称为主系数，δik正称为副系数。根据位移互等定理所以在计算副系数时，只需计算一半数目的副系数即可。1超静定结构内力计算§1.1.1力法的基本原理（续4）由力法方程解出未知力X1、X2、…Xn后，超静定结构的内力可根据叠加原理用下式计算：其中、、是基本体系由于Xi＝1作用而产生的弯矩、剪力和轴力。MP、QP和NP是基本体系由于荷载作用而产生的弯矩、剪力和轴力。(1-5)1超静定结构内力计算§1.1.2力法的简化计算方法对称性的

4、利用。所谓对称结构就是指结构的几何形状和支承情况对某轴对称，杆件截面和材料性质也对此轴对称。利用对称性可以使力法计算大为简化。方法:选用对称的基本体系使未知力也分成正对称和反对称两种。正对称的内力引起的单位内力图是正对称的，反对称的内力引起的单位内力图是反对称的。正、反的内力图形相乘的结果为零。这样力法方程中的一部分副系数为零，计算得到一定程度的简化。为了获得正对称的和反对称的单位内力图，有时候采用组合未知力的方法也是很有效的。如果能够进一步把荷载也分成正对称和反对称两部分，则荷载弯矩图也有正对称和反对称的两部分，就会使一部分自由项也等于零，计算获得进一步简化。1超静定结构内力计

5、算§1.1.3温度变化、支座移动引起的内力计算超静定结构在温度变化和支座发生移动的情况下都会产生内力。这是超静定结构的重要特点之一。其计算方法与荷载作用下的内力计算方法基本相同。当外荷、温度变化和支座移动这三个因素同时存在时，结构的力法方程式为：(1-6)其中c1，c2…cn——原结构在未知力作用点对应于未知力方向的实际位移；nt——温度变化引起基本体系Xn的作用点沿Xn方向的位移1超静定结构内力计算§1.1.3温度变化、支座移动引起的内力计算(续)其中α——线膨胀系数；t/——杆件两侧温差；t0——杆件轴线温升（降）；h——杆截面高度；nc——由于支座移动引起基本体系Xn的

6、作用点沿Xn方向的位移。nc可由几何关系确定或由虚功原理计算。其中——当Xn＝1时引起的支座反力。c——支座移动的距离。1超静定结构内力计算§1.1.4超静定结构的位移计算按照虚功原理，计算超静定结构位移时，若忽略轴力及剪力的影响，其计算公式为：在平面结构中结构位移计算的一般公式为：(1-7)其中M、Q、N——超静定结构在各种因素作用下的内力图。、、——任取的基本体系在单位力作用下的内力图，而单位力是加在要求位移的截面上的；——基本体系支座k在单位力作用下的反力；cK——k支座的实际位移。公式（1-7）的前三项表示基本体系在荷载和多余未知力的作用下的位移，后三项表示基本体系在温

7、度变化和支座移动情况下引起的位移。1超静定结构内力计算§1.2位移法§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式位移法以结点的位移（角位移和线位移）作为基本来知数，根据求出的位移计算各杆的内力。因此，必须首先建立各杆件的杆端位移与杆端的内力之间的关系。这就是转角位移方程。设一结构中某杆AB。结构受荷载作用的变形如图1-2所示。图1-21超静定结构内力计算§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式（续1）AB杆产生位移后，杆端的总弯矩为令，称为杆的线刚度，则(1-8)这就是两端固定等截面直杆