中心极限定理课件

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1、§4.2中心极限定理定理1　独立同分布的中心极限定理设随机变量序列相互独立，服从同一分布，且有期望和方差：则对于任意实数x，注记则Yn为的标准化随机变量即n足够大时，Yn的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数．近似服从定理2　李雅普诺夫(Liapunov)定理(不同分布)设随机变量序列相互独立，且有有限的期望和方差：记若则对于任意实数x，定理3　德莫佛—拉普拉斯中心极限定理(DeMoivre-Laplace)设Yn~B(n,p),0

2、~N(np,np(1-p))(近似)例1设有一大批种子，其中良种占1/6．试估计在任选的6000粒种子中，良种所占比例与1/6比较上下不超过1%的概率．解设X表示6000粒种子中的良种数，则X~B(6000,1/6)．中心极限定理的应用比较几个近似计算的结果用中心极限定理用二项分布(精确结果)用Poisson分布用Chebyshev不等式例2某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为0.6．开工时每台耗电量为r千瓦．问供电所至少要供给这个车间多少电力，才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不

3、足而影响生产？解设至少要供给这个车间a千瓦的电力；设X为200台车床的开工数．X~B(200,0.6),问题转化为求a,使X~N(120,48)(近似)．由于将X近似地看成正态分布，故反查标准正态函数分布表，得令解得(千瓦)．例3检查员逐个地检查某种产品，每检查一只产品需要用10秒钟．但有的产品需重复检查一次，再用去10秒钟．假设产品需要重复检查的概率为0.5，求检验员在8小时内检查的产品多于1900个的概率．解法一检验员在8小时内检查的产品多于1900个即检查1900个产品所用的时间小于8小时．设

4、X为检查1900个产品所用的时间(单位：秒)．设Xk为检查第k个产品所用的时间(单位：秒)，k=1,2,…,1900．XkP10200.50.5相互独立,且同分布,解法二—1900个产品中需重复检查的个数．例4对敌人的防御工事用炮火进行100次轰击，设每次轰击命中的炮弹数服从同一分布,其数学期望为2，均方差为1.5．如果各次轰击命中的炮弹数是相互独立的，求100次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率；(2)命中的炮弹数不到200发的概率．解设Xk表示第k次轰击命中的炮弹数．相互独立．设X表示100次

5、轰击命中的炮弹数，则(1)(2)例5售报员在报摊上卖报，已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3．令X是出售了100份报时过路人的数目，求P(280X320)．解令Xi为售出了第i–1份报纸后到售出第i份报纸时的过路人数，i=1,2,…,100．(几何分布)相互独立,中心极限定理的意义在实际问题中，若某随机变量可以看作是有相互独立的大量随机变量综合作用的结果，每一个因素在总的影响中的作用都很微小，则综合作用的结果服从正态分布．作业P227习题四4，5，12，13，16，26