大数定理与中心极限定理

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1、2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计第五章大数定理与中心极限定理■考试内容切比雪夫（Chebyshev）不等式切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli）大数定律辛钦（Khinchine）大数定律棣莫弗—拉普拉斯（DeMoivre—Laplace）定理列维—林德伯格（Levy—Lindberg）定理■考试要求1．了解切比雪夫不等式。2．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）3．了解棣莫弗—拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维—林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）本章导读3大均

2、2中和1不等（3个大数定理、2个中心极限定理和一个不等式）。一、切贝雪夫不等式1.1切贝雪夫不等式及其应用范围如果不知道属于何种分布，只要和存在，就可以估算出以为中心的对称区间上取值的概率。即：则任给有或●证明：由积分比较定理可知：1.2依概率收敛的定义设a是一个常数，为一随机变量序列，或1452009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计，则称依概率收敛于，记为或。二、大数定理●大数定理的应用范围：①相互独立且同分布；②。●大数定理的特征：体现一个“均”字。大数中的随机变量、数学期望、方差（标准差）均是对“均”而言。如和2.1切比雪夫大数定理设随机变量相互独立

3、，服从同一分布（任意分布），且具有相同的数学期望和方差则有评注在大量的测量值中，算术平均值具有稳定性，即个随机变量的算术平均值，当无限增加时，将几乎变成一个常数，即接近数学期望，这种接近是概率意义上的接近，也就是依概率收敛，记为，这也是为什么在实际应用中，常用算术平均来描述事件发生的加权平均（即数学期望）的原因。2.2辛钦大数定理设随机变量相互独立，服从同一分布（任意分布），且具有相同的数学期望，则有（不要求方差存在）评注在大量的测量值中，算术平均值具有稳定性，即个随机变量的算术平均值，当无限增加时将几乎变成一个常数。显然，伯努利大数定理是辛钦大数定理的特例。1452009

4、智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计2.3伯努利大数定理设是次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则，有或评注1．，服从同一分布；2．当很大（一般要求大于45）时，事件发生的频率具有稳定性，且逼近于其概率，这也是为什么在实际应用中，常用频率来代替事件发生概率的原因。3．它本质上是离散情形下的辛钦大数定理。陈氏第8技3个大数定理的应用选择方法大数定理提供了算术平均代替加权平均的理论根据，适应于事件发生的平均值依概率收敛情形。如果能已知，都存在，则使用切比雪夫大数定理；如果仅知道存在，而未知是否存在，则使用辛钦大数定理；如果是伯努利试

5、验，则使用伯努利大数定理。三、中心极限定理●中心极限的应用范围：独立同分布；。●中心极限的特征：体现一个“和”字中心极限中的随机变量、数学期望、方差（标准差）均是对“和”而言。如和及。3.1列维一林德伯格中心极限定理（又称独立同分布的中心极限定理）设相互独立，服从同一分布（任意分布），且具有数学期望和方差，则随机变量的标准化量的分布函数满足1452009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计评注①，；②此处表达式中，分子与分母可同乘以正好对应标准化。3.2棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理设随机变量服从参数为的二项分布（二次分布也是要求相互独立，，，同时隐含），则随机

6、变量的标准化量评注①正态分布是二项分布的极限分布；②，。③一般来说，陈氏第9技2个中心极限定理的应用选择方法中心极限定理提供了任何备选事件发生的标准化量依概率收敛于的理论根据。当，都存在，且时，如果是伯努利试验（离散型），则使用莫佛—拉普拉斯中心极限定理；一般型使用列维一林德伯格中心极限定理。四、先进题型与求解秘诀■题型1切贝雪夫不等式题型题法【例1】已知随机变量的数学期望分别为和，方差分别为和4，相关系数为，试估计。解：由于未知的具体分布，故使用切贝雪夫不等式1452009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计【例2】随机掷6颗骰子，利用切比雪夫不等式估计6颗

7、骰子点数之和大于14小于28的概率至少为多少？解：设【例3】假设某一年龄段女孩平均身高130cm，标准差是8厘米，现在从该年龄段女孩中随机抽取5名女孩，测其身高，估计她们的平均身高之间的概率。解：不知分布估计概率使用切贝雪夫不等式设为第名被测女孩的身高，显然相互独立同分布应用切贝雪夫不等式，有。1452009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计【例4】设X为连续型随机变量，则是对任意常数C，必有（A）（B）（C）（D）解：应选（C）。■题型2大数定理题型题法【例5】，独立同，求。解：注意随机变量的极限