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《大数定理与中心极限定理的应用!》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、浅谈大数定律与中心极限定理的几个应用王灿2014050201024指导教师：韦鷗2015.11【摘要】大数定律是概率论屮的重要内容，其目的是考察随机序列的稳定性，是概率论与数理统计中承上启下的章节，其理论应用广泛。本文总结了大数定律和屮心极限定理的应用。【关键词】大数定律；中心极限定理1.引言大数定律与中心极限定理是概率统计中的重要研究课题，是概率论与数理统计之间承前启后的重要纽带。大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性,中心极限定理以更严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体分布如何，样本均值总是服从或近似的服从止态分布。本文的目的是通过貝体的实例讨论大数定理以及屮心极限定理的
2、简单应用。2.大数定律以及中心极限定理的应用(1)大数定律在数据处理中的应用如果某种仪器测量已知量A时，设n次独立得到的测量数据为心兀2,…心，如1n果仪器无系统误差。当n充分大时，能否取-y(x,.-A)2作为仪器测量误差的方“i=i差的近似值？把兀•视为n个独立同分布的随机变量无(/=1,2,…/)的观察值，则E(x.)=“，*)"(心1,2,.../)。仪器第i次测量的误差xf-A的数学期望为E(x--A)=/j-A,方差为D(xi-A)=cr2o设乙=(旺-小七=1,2,…')，则旷也相互独立且同分布。在仪器无系统误差时，E(xi-A)=0,即有“二£(¥,)=E[(xi-A)2]
3、=E[(xi-Exi)2]=D(xJ=a2(i=1,2,.・・,〃)由切比雪夫大数定律可知：1几limP{l—"dI<^}=11nlimP｛丨一工（兀-A）?dl<刃=1in铝从而确定，当“too时，随机变量—V(xz-A)2依概率收敛于,故当n充分大1H时，我们可以取丄t^-A)2作为仪器测量误差的方羞的近似值。“<=1这解释了我们在物理中处理数据时近似方茅的求算依据。(1)大数定律以及中心极限定理在等式，不等式，极限式证明中的应用利用中心极限定理证明:设｛佥｝是独立同分布随机变量序列，共同分布为久=1的泊松分布，故有E&严D轧=尺=£序严nk=由中心极限定理可知k=l工©-昭）Jl
4、=l1=—,nco2曲泊松分布的可加性知£生服从参数为n的泊松分布，因此k=fln因此—八TO,TOn"nknnk1（£百）八二G2）+百严T牙'TOOk=（）K•k=]K•L结论成立，证毕。我们不仅可以用屮心极限定理和大数定律证明上而的一些极限式，也可以在已知概率密度函数的情况下，证明一些不等式，例如：设随机变量X的密度函数为/(x)心0,，兀<0,试证明P(0——n+1由方差的计算公式可得D(X)=E(X2)-[£(X)]2=匚兀2/匕皿_[匚才⑴心由切比雪夫不等式得P(0vXv2(/7+1))=P{
5、x-(n+1)
6、<«+1}=P{
7、X-E(X)
8、
9、l}>1-D(X)5+1)271+15+1)2结论成立，证毕。中心极限定理和大数定律还口J以证明一些不等式，就不在此举例了。(1)中心极限定理与大数定律的比较某学校高屮部学生屮，身高在18()cm以上的占丄，今在其屮任选600()人,试计算这些学生中身高在180cm以上的人所占的比例与丄之差小于1%的概率是6多少？设选出的学生中，身高在180cm以上的人数为X,则X〜B(n,p),于是EX=^=6000x1=1000DX=7?/7(l-/?)=6000xlx-66①由切比雪夫不等式计算:<=P{
10、X-1OOO
11、<6O}>1-DX607=1-ixiooox^o=o-768即用切比雪夫不等式估
12、计此概率不小于0.768②由屮心极限定理计算对于二项分布3(6000,丄)可用正态分布2(1000,3x1000)来近似，于是66(1()60-100()'一①'940-100()、［届1000J；加000丿«0(2.07)-1=0.96由此可以看出，切比雪夫不等式所取的下限是十分粗糙的，但是它的要求比较低，只需要知道X的期望和方差就可以求算，应用起來比较方便，而中心极限定理所得到的结果较为精确。3.小结木文着重讨论了大数定律与屮心极限定理的一些简单应用，实际应用远不止于此，它们还在决策，保险业，经济学等方面具有重要的应用，在此就不一一赘述了，希望本文能加深大家对大数定律与中心极限定理的理
13、解认识。参考文献【1】徐全智，吕恕.概率论与数理统计，第二版.高等教育出版社，2010.6[2]许刘俊，杨维权.概率论解题分析•广州：广东科技出版社，1990[3]拉穷.论独立随机序列的人数定律与中心极限定理及莫应用.西南交通大学硕士学位论文[1]李裕奇，赵联文,刘海燕.概率论与数理统计习题详解,第二版.成都：西南交通大学出版社,2005[5]李红英.大数定律和屮心极限定理的应用.科技管理与应用1671-5780(201
