连续系统的最优控制

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1、第6章连续系统的最优控制6.1最优化问题6.2最优控制的变分法求解6.3线性系统二次型性能指标的最优控制1、线性系统有限时间最优状态调节系统◆二次型性能指标设受控系统对平衡点的增量方程为，简记为，最优状态调节是指：对上述系统，在时间区间，18/30寻求最优状态反馈控制，使初始状态偏差迅速衰减，且同时使二次型性能泛函式中——终端加权矩阵。——状态加权矩阵。——控制加权矩阵。三个加权矩阵均为对称矩阵，为简单，一般取为对角矩阵。●18/30表示对终端状态偏差即稳态控制精度的限制。当，●表示对控制过程中状态偏差衰减速度的要求。当，●表示对控制过程

2、中所消耗的能量的限制，以避免状态偏差过快衰减导致控制量超过允许数值。当，，可理解为功率。实际上，在性能指标中，已经对控制的稳态精度有所要求。当对稳态精度有更高的要求时，才增加项。18/30由上可知，上述二次型性能指标的物理意义是，在整个时间区间，特别是终值时刻上状态变量尽量接近于0而又不消耗过大的控制能量。◆有限时的最优状态控制最优状态调节器问题是始端固定、终端自由的泛函极值问题，即给定，，给定，自由的泛函极值问题。黎卡提（Riccati）矩阵微分方程（一阶非线性矩阵微分方程）：其终值条件为可以证明，当矩阵的各元素在18/30上都是t的连

3、续函数时，黎卡提方程在上满足终值条件的解存在且唯一。当解出后，便有最优控制为式中，为时变状态反馈矩阵。最优性能指标为闭环系统结构如图：18/30◆的特征*的时变性：即使都是定常矩阵，此时黎卡提方程为定常系数矩阵微分方程，也是时变的。*的对称性是对称矩阵，共含有个不同的元素。18/30*的非负定性由于均为非负定矩阵，所以对任意的和相应的，总有，，因是任意的，可知。*当，为常数矩阵在这种情况下，在动态过程的大多数时间内，为常数矩阵，从而最优控制的时变状态反馈简化为定常状态反馈。说明后列。例：系统状态方程为，求最优控制，使18/30解：，，，，

4、，，矩阵黎卡提微分方程为，对，，解得最优控制为数值计算表明：，，18/30，，和时的曲线如图所示。2、时的线性定常系统最优状态调节器有限时的最优状态调节器，由于是时变的。若，将趋于常数矩阵，最优状态反馈矩阵也将随之转化为常数矩阵。◆无限时间（）状态调节器问题18/30若线性定常系统，能控，不受限制，二次型性能泛函为式中——状态加权对称常矩阵；——控制加权对称常矩阵。当或但能观（其中），则最优状态反馈控制存在且唯一：式中为最优定常状态反馈矩阵是满足满足下列黎卡提矩阵代数方程的18/30正定对称常数矩阵：最优轨线是下列奇次状态方程的解：,性能

5、泛函的最小值为说明：*表面上不受限制，但由于性能泛函中含有，通过的选择，可把控制在允许范围内。*最优调节闭环系统是定常系统。结构图为18/30*由于，要求线性定常系统能控，否则不可控模态将使。*无限时间最优调节系统必是大范围渐近稳定的。证明：由前知，.故标量函数。而18/30由于，，故。此外，当，。根据李亚普诺夫稳定性定理，无限时间最优调节系统是大范围渐近稳定的。*无限时间最优调节系统是渐近稳定的，当，。故在性能泛函中，终端泛函失去意义，予以取消，或认为。例：简化的同步发电机—无穷大系统机电模型如图。模型数据为：，，。二次型性能泛函权矩阵

6、，。求最优状态控制。18/30解：系统状态方程为对于所给数据展开黎卡提方程18/30得由于，因此，只需求出和。将黎卡提方程展开，有+1025=0，+754+1=0解得；满足的解为，18/30最优状态反馈矩阵为闭环系统结构无控制时，特征方程和特征值分别为，系统临界稳定。施加最优控制后18/30系统渐近稳定，且阻尼良好。阻尼比为3、时的线性定常系统最优输出调节器若线性定常系统，能控且能观，不受限制，二次型性能泛函为18/30式中——输出加权对称常矩阵；——控制加权对称常数矩阵。求最优控制，使。参照最优状态调节器的结果，最优输出调节器的最优控制

7、为式中为最优定常状态反馈矩阵是满足满足下列黎卡提矩阵代数方程的正定对称常数矩阵：注意：因黎卡提矩阵代数方程不同，此处所得阵与最优状态调节器时的不同，从而最优控制也不同。18/30