第6章连续系统最优控制

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1、第6章连续系统的最优控制6.4最优控制问题的极小值原理求解1、变分法求解最优控制问题的局限性1）必要条件之一为其成立的前提是。而实际系统限制，在的边界上，向外的法向变分。2）要求,L关于和连续和足够可微，有时无法满足。如最少燃料控制问题中的性能指标19/24其不存在。2、极小值原理求解最优控制问题的极小值原理(始端固定，终端约束)：对连续系统始端约束终端约束控制约束，性能泛函取哈密尔顿函数19/24和辅助性能泛函为则实现亦即的最优控制的必要条件是最优控制、最优状态轨迹和最优伴随向量满足下列关系：1）最优状态轨迹和最优伴随向量满足正则方程：2）在最优状态轨迹上，与最优控制相应的函数满足19

2、/243）正则方程边界条件4）满足说明：*极小值原理与变分法所得最优控制的必要条件的差别仅在于用替代。*一般地，极小值原理只是使的必要条件，但对线性系统则是充要条件。*若、不显含，沿最优轨线保持常数。19/24*极小值原理所得最优控制对应的H函数值是在全域内的绝对极小值（最小值），而变分法所得最优控制对应的H函数值是在全域内的符合的相对极小值。示例：某给定时刻，H与u的关系情况a，两种结果一致；情况b，两种结果不一致；情况c，变分法不适用。*如在构造哈密尔顿函数时，使其与上述H符号相反，即，则对使的最优控制，有19/24。故极小值原理又称为极大值原理。3、极小值原理的应用示例—bang-

3、bang控制在某类特殊情况下，最优控制由的不同的边界值切换所构成，称之为bang-bang控制，如最小能量控制、最短时间控制等。◆最短时间控制问题的求解设能控的线性定常系统状态方程为，，性能泛函19/24控制约束求使。该问题为不显含时间变量t的最优控制问题。在此，，，，是前述极小值原理应用问题的特例。哈密尔顿函数为19/24可以证明。为使H取极小值，最优控制应为可见，最短时间控制的各控制变量根据的符号，在两个边界值之间切换，这称为bang-bang控制。可以证明以下两定理：*对线性定常系统，最短时间控制存在且唯一。*开关次数定理：若n阶线性定常系统的特征值均为实数，则最短时间bang-b

4、ang控制的每个分量，在两个边界值之间最多切换次。若特征值非实数，切换次数与初始状态有关。◆双积分系统的最短时间控制19/24双积分系统，性能泛函控制约束求使，。哈密尔顿函数19/24由伴随方程解得，最优控制双积分系统的特征值等于，为实数。根据开关次数定理，在间最多切换1次，切换时刻为19/24根据和的数值，有如下4种可能的情况：{+1}，{-1}，{+1，-1}，{-1，+1}该最优控制可直接与相联系，构成闭环控制。现分析与的关系。当时，状态方程为其解为消去时间变量t，得19/24式中c是取决于的常数。相轨迹族即抛物线族如图所示：分别记可达原点的半抛物线为和，和合并称为最优开关曲线，即

5、：19/24最优开关曲线把相平面划分为两个区域和。闭环控制策略可表为：若位于或上，取或；若位于区域或区域，则分别取和；19/24当，取。该控制可使且。记最优开关曲线方程为则该最优控制可表示为闭环系统结构为：19/24◆二阶振荡系统的最短时间控制二阶无阻尼振荡系统的状态方程，19/24性能泛函控制约束求使，。特征值为复数。仍为Bang-Bang控制，但开关曲线复杂，切换次数增多。相平面（）上的开关曲线由无穷多个半圆构成：式中，19/24其中，仅和通过原点。开关曲线的上侧区域记为，下侧区域记为。无阻尼二阶振荡系统最短时间控制可表示为状态、的函数：19/24根据初始状态的不同，最优控制序列为最

6、终状态落在或上，在或的作用下趋于原点。表最优开关曲线方程为最优控制又可表为式中，闭环系统结构为19/2419/24