《溷沌与分岔》ppt课件

《《溷沌与分岔》ppt课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、混沌与分岔第六章Content混沌与分岔的起源与发展混沌的概念混沌的特点混沌现象举例分岔的概念分岔现象举例混沌的研究方法分岔的研究方法混沌在现代科技领域的应用混沌与分岔的起源与发展公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体问题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见性。直到20世纪六十年代后，混沌现象才引起学术界的广泛注意，到七十年代才诞生了还不大成熟的“混沌学”。其后，“混沌学”得到了迅速发展，到了八十年代，更在世界

2、上掀起了混沌现象研究的热潮。混沌与分岔的起源与发展分岔现象最早来源于1729年Musschenbrock对压杆失稳实验的观察，这种分岔现象在固体力学中称屈曲。1834年雅可比首次提出分岔这个术语。1885年，庞卡莱提出旋转液体星平衡图形的演化过程的分岔理论。固体力学的屈曲和流体力学的转捩一直是分岔研究的重要动力。20世纪30年代，范德波、安德罗诺夫等在非线性振动研究中发现大量的分岔现象。以后在很长时间内，分岔的研究主要集中在应用领域，直到20世纪60年代，微分动力系统、突变、奇异性、非线性分析等方面逐渐形成了现代数学理论

3、。混沌与分岔的起源与发展混沌现象发现以后，关于分岔与混沌之间联系的研究得到迅速发展，如Rulle和Takens发现环面分岔通向混沌；Feigenbaum发现倍周期分岔通向混沌；Pomeou等发现伴随鞍结分岔的阵发性通向混沌。混沌的概念混沌，英文为chaos，意思是混乱，紊乱。混沌是指发生在确定系统中貌似随机的无规则或不规则运动。然而混沌作为一门科学发展至今，仍没有一个准确、完整、科学的定义，不同领域的科学家往往对其有不同的理解。混沌一词由李天岩（Tian-yanLi）和约克（Yorke）于1975年首先提出。混沌的定性描

4、述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏感初始条件的非周期行为”。混沌的概念n周期点的定义：如果对于某x0，有f(n)(x0)=x0，但对于小于n的自然数k，有f(k)(x0)≠x0，则称x0为f的一个n周期点。n周期轨道的定义：当x0为f的一个n周期点时，称{x0,f(1)(x0),f(2)(x0),…,f(n-1)(x0)}为f的n周期轨道。Li-Yorke定理：设连续自映射，I是R的一个闭区间，如果：①存在一切周期的周期点；②存在不可数子集S，S不含周期点，使得则称f在S上是混沌的。混沌的概念Li-Yorke定理给出

5、了混沌数学上的定义，它说明混沌系统应该具有三种性质：存在所有周期的周期轨道；存在一个不可数集，此集只含有混沌轨道，任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，两种状态交替出现；任一混沌轨道不趋于任一周期轨道。混沌的特点对初值的敏感性混沌对初值具有敏感依赖性，初值的微小差别会导致未来的混沌轨道的巨大差别,正是所谓“失之毫厘，谬以千里”。1963年，荷兰科学家洛伦兹(HendrikAntoonLorenz)在《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”的著名论文。该论文以一个底部加热、顶部冷却的两维运动流体块中的对流为模型，提出了

6、著名的Lorenz方程。Lorenz用数值方法揭示了该模型中存在混沌运动，并发现系统初值的微小变化会导致轨道在长时间以后完全不同，即解对初值的极端敏感性，就是著名的蝴蝶效应。混沌的特点内在随机性确定性行为一定产生于确定性方程，而随机行为却产生于两类方程：一类是随机微分方程，一类是确定性方程。随机微分方程表现出来的随机性是由随机参数、随机初始条件或随机外界强迫所产生，常称为外在随机性。确定性方程本身不包含任何随机因素，但在一定的参数范围却能产生出看起来很混乱的结果，把这种由确定性方程产生的随机性称之为内在随机性。混沌是确定

7、性非线性系统的内在随机性，这是混沌的重要特征之一。混沌的特点长期不可预测性由于初始条件仅限于某个有限精度，而初始条件的微小差异可能对以后的时间演化产生巨大的影响，因此不可能长期预测将来某一时刻之外的动力学特性，即混沌系统的长期演化行为是不可预测的。混沌的特点分形性分形(Fractal)这个词是由曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)在70年代创立分形几何学时所使用的一个新词。所谓分形是指n维空间一个点集的一种几何性质，它们具有无限精细的结构，在任何尺度下都有自相似部分和整体相似性质，具有小于所在空间维数的非整数维数，

8、这种点集叫分形体。分维就是用非整数维-分数维来定量地描述分形的基本特性。混沌的特点普适性普适性包括两种，即结构的普适性和测度的普适性。当系统趋于混沌时，所表现出的特征具有普适意义，其特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。混沌的特点遍历性遍历性也称为混杂性，混沌运动在有限时间内能够到达混沌区域内任何一点。混