典型地溷沌系统.doc

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1、典型的混沌系统11.1一维混沌系统1§1.1.1Logistic映射1§1.1.2Chebyshev映射2§1.1.3Logistic映射与Chebyshev映射2§1.1.4概率密度函数PDF的作用31.2二维混沌系统(超混沌系统)3§1.2.1Henon映射4典型的混沌系统混沌现象是在非线性动力系统中表现的确定性、类随机的过程，这种过程既非周期又不收敛，并且对于初始值具有敏感的依赖性。按照动力学系统的性质，混沌可以分成四种类型：Ø时间混沌；Ø空间混沌；Ø时空混沌；Ø功能混沌；1.1一维混沌系统一个一维离散时间非线性动力学系统定义如下：其中，xkÎV，k=0,

2、1,2,3…，我们称之为状态。而t:V®V是一个映射，将当前状态xk映射到下一个状态xk+1。如果我们从一个初始值x0开始，反复应用t，就得到一个序列{xk;k=0,1,2,3…..}。这一序列称为该离散时间动力系统的一条轨迹。原始的虫口模型方程是（37文）：体现了两代虫子的数量关系。将此方程推导一下，可以得到如下方程：可以得到第n代虫子和第0代虫子的数量关系。但是，从中不能表现自然的虫子变换关系，因为虫子的增长变化不是恒定的（考虑到很多负面影响，如虫子太多时，由于食物有限和生存空间有限，还由于疾病等多种原因，使得虫口数量减少），所以这个线性模型完全不能反映虫口

3、的变化规律。§1.1.1Logistic映射一类非常简单却被广泛研究的动力系统是logistic映射，它起源于虫口模型。其定义有多种形式。1．形式一其中，混沌域为(0,1)，0£m£4称为分枝参数，xk∈(0,1)。混沌动力系统的研究工作指出，当3.5699456…

4、ityfunction)：表明此系统产生的混沌序列具有遍历性，并且它产生序列的PDF与初始值无关，这为将混沌序列作为密钥置换网络的映射函数提供了理论支持。2．形式二其中lÎ[0,2]，混沌域为[-1,1]。当l∈(1.40115,2)时，Logistic映射工作处于混沌状态。（34文）；当l∈(1.5437,2)时，Logistic映射工作处于混沌状态。（35文）（具体看《从抛物线谈起》）在l=2的满射情况下，其所生成序列的概率密度函数PDF：3．形式三当m∈(3.5699,4)时，Logistic映射工作处于混沌状态。在m接近4的范围内生长的混沌序列的随机性比

5、较好。（37文）在m=4的满射情况下，其所生成序列的概率密度函数PDF：（43文）§1.1.2Chebyshev映射Chebyshev映射，以阶数为参数。k阶Chebyshev映射定义如下：其中xk的定义区间是(-1，1)。§1.1.3Logistic映射与Chebyshev映射上述第二类Logistic映射在l=2的满射条件下，与Chebyshev映射是拓扑共轭的，它们生成序列的概率分布函数PDF也是相同的：§1.1.4概率密度函数PDF的作用通过r(x)，我们可以很容易地计算得到logistic映射所产生的混沌序列的一些很有意义的统计特性。例如，x的时间平均

6、即混沌序列轨迹点的均值是：例如，关于相关函数，独立选取两个初始值x0和y0，则序列的互相关函数为：例如，序列的自相关函数ACF(auto-correlationfunctions)则等于delta函数d(l)。这正是我们所需要的。注意，联合概率密度函数pdf:r(x,y)=r(x)´r(y)。Logistic序列的以上特性表明，尽管混沌动力系统具有确定性，其遍历统计特性等同于白噪声，其具有形式简单，初始条件的敏感性和具备白噪声的统计特性等诸多特性。1.2二维混沌系统(超混沌系统)一维离散混沌系统，具有形式简单、产生混沌序列时间短等优点，但其缺点是密钥空间太小。用

7、二维超混沌系统生成的混沌序列，变换成加密因子序列。Lyapunov指数（简称李氏指数），是刻画非线性系统混沌特性的有效方法之一，李氏指数的个数与系统状态空间的维数n相同。如果只有一个李氏指数大于零，则系统是混沌的；若至少有两个李氏指数大于零，则系统是超混沌的。大于零的李氏指数越多，系统不稳定的程度越高。一般来说，系统的状态量个数越多（如高维系统，对离散系统来说，n>2），它可能出现不稳定的程度越高。不失一般性，二维混沌离散系统有如下形式：其中式中ai（i=1,2,…12）式均为待定常系数。采用高维系统产生超混沌，由于系统比低维情况复杂，产生超混沌时序的时间增长，

8、将有可能直接影响保密通讯