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1、《数量经济技术经济研究》年第期混沌理论与经济学李京文罗春龙张听竹张近引言,一是牛顿的长期以来人们用以描述客观世界的数学模型从本质上来说只有两类,,决定论模型即给定初始条件或状态则系统的行为完全确定二是爱因斯坦的随机游动模型或布朗运动模型。简单地说,即确定性模型和随机模型。确定性状态和随机状态也被认为是两种对立的状态。同时,所用模型的数学形式也基本是线性的,或者即使存在非线性也是假设系统运行在线性稳定区而加以一阶线性化处理,这些似乎成了一种传统和定式。然而,现实世界中非线性是不可避免的,
2、确定性和随机性之间存在着某种内在联系,于是人们遇到了极为复杂的系统行为的挑战。如湍流问题,看起来平滑而有序的流体如何碎裂成为无序的涡流,它如何跨过有序到无序的分界面,这显然是一个确定性的,,有序状态与随机的无序状态的联系问题再如大气问题北京的一支蝴蝶振动翅膀为,。何会影响华盛顿的气候这是非线性的初始条件敏感性问题这些被传统理论和方法认为是非常深刻而难以解决的问题,正期待一种新思想的出现,于是混沌科学诞生了,它担负起解释复杂系统行为的使命。,奥地利数学家的不完备定理告诉我们任何一个
3、有意义的数学系统都是不完善的,在任何特殊的逻辑系统中总存在可以提出但很难回答甚至不能回答的问题。年,麻省理工学院的气象学家在他所研究的大气对流确定性模型中发,,。现了非周期的看起来很混乱的类似于随机过程的行为之后又,有许多科学家如物理学家生物学家!等都在各自的研究领域中发现了“确定性系统中的内在随机性”现象。这种内在随机性后来被人们称之为混沌现象。混沌,一词是美国马里兰大学于年代初
4、提出的并首次见诸于于年发表在美国《科学》杂志上一篇题为《无世代交叠的生物群稳定、点极限环及混沌》和与于年在美国《数学月刊》上题为《周期意味着混沌》的文章。。,混沌一词还没有一个公混沌一词提出后引起了学术界的极大兴趣然而迄今为止,,。认的普遍适用的数学定义认为给出混沌的精确定义是很困难的第,,一不使用大量的技术术语不可能定义混沌第二从事不同领域的人使用的定义不同。如正拓扑墒、正李雅普诺夫指数以及存在奇异吸引子等等。进一步,
5、认为“不严格地说,如果一个系统同时具有对初值的敏感性以及出现非周期运动,则可认。”,,为系统是混沌的认为混沌是一个相当难以精确定义的数学概念但可一一以把它看作是确定的随机性。确定的是因为它由系统内部而不是外来的扰动所产生的,即内在随机性而随机性是指不规则的难以预测的行为。和给出了,混沌的一个数学定义见本文第二节根据这一定义认为一个混沌系统,,,应具有三种性质第一存在所有阶的周期轨道第二存在一个不可数集合此集合
6、,,只含有混沌轨道且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近而是两种状态交替出,,,现同时任一轨道不趋于任一周期轨道即此集合不存在渐近周期轨道第三混沌轨道具有高度的不稳定性。,。越是基本的问题越难回答也许是现代科学发展的一大特点突变论的创始人“”。,认为混沌一词不可能有严格的数学定义尽管如此从事不同领域研究的学者都基。于各自对混沌的理解进行研究并加以应用混沌理论起源于流体力学这门古老的学科,而且较为有效地应用于流体力学的研,,究许多现象如倍周期化过程都在流体力学的实验中得到了证实并且有人开始
7、应用混沌理论来着手解决湍流这一大历史难题。不仅如此,自年代初问世以来,混沌理论,、、在越来越多的领域中显示出越来越强的生命力其应用领域已渗透到气象学生物学医学、国际政治学、天文学及经济学。二、混沌的数学机制,虽然关于混沌的定义有很多但是在经济学中一般采用和的定义,,设连续自映射一是中的一个区间如果存在不可数集合满不包含周期点。,,‘笋任给有,‘,一‘,二比】‘,一一。,’妙田·
8、,。一这里厂了表示重函数关系任给…及厂的任意周期点尸。浦,‘,、少一,曰田则称在上是混沌的。的勒贝格测度有可能为零,即的定义的缺陷在于集合这时混沌是不可观测的,而我们感兴趣的则是可观测的情形,即此时有一个正的测度。有关混沌产生机制的讨论,大多是考虑一维迭代映射,这是研究得比较充分的情形。下面讨论一维非线性迭代映射,然后给出一些有关的数学结果。一维迭代映射考虑一维迭代映射,十,,,,,
