第十一章无穷级数（18学时）.doc

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1、第十一章无穷级数（18学时）一、教学目标及基本要求1.理解常数项级数和函数项级数的基本概念与性质；2.会利用级数的判别法来判别常数项级数的收敛性；3.会求幂级数的收敛区间收敛半径，掌握幂级数的运算性质，会求和函数；4.熟悉一些函数的幂级数展式，会利用间接展法将一个函数展成幂级数；5.熟悉三角级数的概念，会把一个周期函数展成傅立叶级数。二、本章各节教学内容及学时分配第一节常数项级数的概念和性质，计划1.5学时；第二节常数项级数的审敛法，计划3.5学时；第三节幂级数，计划3学时；第四节函数展成幂级数，计划3学时；第五节函数幂级数展开式的应用，计划1学时；第七节傅立叶级数，计划3学时；一

2、般周期函数的傅立叶级数，计划1学时；章末复习计划2学时。三、重点与难点重点：1.常数项级数的审敛法2.幂级数的性质3.函数展成幂级数难点：1.求幂级数的收敛区间收敛半径和和函数2.周期函数展成傅立叶级数四、内容的深化和拓宽1.正项级数判别法之间的联系2.函数幂级数展开式的应用3.函数的傅立叶级数展开式的应用五、教学手段及注意问题以讲授法为主，问题教学法为辅，由学生熟悉的需要计算的一些量为问题，让学生积极思考，级数理论正是解决这一问题的有效方法，在教学中可以采用多媒体教学，使学生产生学习兴趣，有利于培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。六、主要参考书目1.同济大学应用数学系主编

3、《高等数学》(第五版)高等教育出版社2.同济大学应用数学系主编《高等数学》(第四版)高等教育出版社3.张仲毅等《高等数学全程指导》(同济五版四版)东北大学出版社七、思考与练习1.总结判别常数项级数敛散性的方法。2.比值审敛法和根值审敛法之间的关系如何？3.若幂级数的收敛域为，求幂级数得收敛域。4.求幂级数的和函数。5.将展成的幂级数。§11-1常数项级数的概念和性质主要内容：一、常数项级数的概念1.常数项无穷级数：，其中叫做级数的一般项。2.级数的部分和数列：令，称其为级数部分和，由它构成数列。3.级数收敛：，则称级收敛；如果没有极限，则称级数发散。4.极数的和：部分和数列的极限

4、即5.级数的余项：当级数收敛时，其部分和是级数的和的近似值，它们之间的差值叫做级数的余项。用代替所产生的误差。例1．无穷级数叫等比级数（几何级数），其中，讨论其收敛性。例2．证明级数发散。例3．判断级数的收敛性。二、收敛级数的基本性质性质1如果级数收敛于s，则级数也收敛，且其和为ks。性质2如果级数、分别收敛于和，则级数也收敛，且其和为。性质3在级数中去掉，加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性。性质4如果级数收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。性质5（收敛级数的必要条件）如果级数收敛，则必有。内容小结：1.级数收敛；2.级数收敛，反之不成立；级数发散。3

5、.等比级数，当公比时，级数收敛；当时，级数发散；4.调和级数是发散的。作业：1933；4。§11-2常数项级数的审敛法一、正项级数的审敛法正项级数各项均为正数或零的级数，这种级数称为正项级数。定理1正项级数收敛的充要条件为数列有界。定理2（比较审敛法）设正项级数，，且，若级数收敛，则级数收敛；反之，若级数发散，则级数发散。必收敛，这与假设矛盾。推论1设正项级数，，如果级数收敛，且存在，当时，有。成立，则级数必收敛；如果级数发散，且当时，有，则级数发散。例1．讨论—级数的敛散性，其中常数。推论2设正项级数，如果，使，则级数收敛，如果，则级数发散。例2．证明级数是发散的。定理3（比较审

6、敛的极限形式）设正项级数，，如果，则级数，同时收敛或发散。如果，且收敛，则收敛；如果，且发散，则发散。例3．判别级数的收敛性。例4．判别级数的敛散性。定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法）设为正项级数，若，则当时级数收敛；当时级数发散；而当时级数可收敛也可发散。例5．证明级数是收敛的。例6．判别级数的敛散性例7．判别级数的收敛性。定理5（根值审敛法，柯西判别法）设正项级数，如果有，则当时，级数收敛，若当时，级数发散，而当时，级数可收敛也可发散。例8．判定级数收敛性。例9．判定级数收敛性。定理6（极限审敛法）设正项级数，（1）如果，则级数发散；（2）如果，而，则级数收敛。例10．判定级

7、数收敛性。二、交错级数及其审敛法交错级数是指它的各项是正负交错的，从而可写成或，其中都是正数。定理7（莱布尼茨定理）如果交错级数满足条件：（1）；（2），则级数收敛，且其和，其余项的绝对值。例11．交错级数的收敛性。其和。三、绝对收敛与条件收敛如果级数各项的绝对值所构成的正项级数收敛，则称级数绝对收敛；如果级数收敛，而级数发散，则称级数条件收敛。定理8如果级数绝对收敛，则级数必定收敛。例12．判别级数的收敛性。例13．判别级数的收敛性。内容小结：1.正项级数判别法主要