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1、第十一章无穷级数§11.1常数项级数的概念和性质内容概要名称主要内容常数项级数（为常数）常数项级数的收敛性若则收敛，（:前项部分和）常数项级数常用的性质1.，收敛收敛,且2.则与同收同发3.加入有限项或去掉有限项,不改变级数的敛散性.4．收敛(收敛的必要条件)常用的结论当时收敛其和为，当时发散.例题分析★1.已给级数，1)写出此级数的前二项,;2)计算部分和,;3)计算第项部分和;4)用级数收敛性定义验证这个级数是收敛的，并求其和.知识点：前项部分和,常数项级数的收敛性.解：1),2);3)4),收敛,其和为.★★★2.求常数项级数之和.知识点：前
2、项部分和.思路:利用解：令则以上两式相减得即,，.注：利用等比级数判别级数的收敛性及求和是常用的方法.★★3．设收敛,讨论下列级数的敛散性:1)2);3).知识点：常数项级数的收敛性.思路:利用常数项级数的性质.解：1)发散.注：，则发散是判别级数发散常用的方法.2)常数项级数的性质:加入有限项或去掉有限项,不改变级数的敛散性.去掉前1000项得的级数仍收敛3),发散.课后习题全解习题11-11.写出下列级数的前五项：★(1)★(2)★(3)★(4)解：(1).(2).(3).(4)2.写出下列级数的一般项：★(1)★(2)★(3)★(4)★★(5
3、)★★(6)解：(1).(2).(3).(4).(5).(6).3.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性:★★(1);★(2);★★★(3).解：(1).所以,原级数收敛.(2).所以,原级数收敛.(3),所以,原级数发散.注：另解所以不存在，原级数发散.4.判定下列级数的收敛性:★(1)★(2)★★(3)★★(4)★★(5)★★(6)解：(1)此为等比级数，因公比，且，故此级数收敛于(2)级数的一般项：,由调和级数发散和级数的性质，知题设级数发散.(3)原级数发散.(4),原级数发散.(5)均为等比级数且公比分别为均收敛，故原级数收敛.(
4、6).原级数发散.★★5.求级数的和.解：.★★★6.求常数项级数之和.解：,(上两式相减).★★7.设级数的前项和为，求级数的一般项及和.解：,且.★★★★8.利用柯西审敛原理判别下列级数的收敛性：(1)；(2)；(3).解：(1)对于任意自然数，因为（令解得）故不妨设当时，对于任意自然数，都有由柯西审敛原理，知所给级数收敛.(2)对于任意自然数，因为故不妨设当时，对于任意自然数，都有由柯西审敛原理，知所给级数收敛.(3)，因为项故取对于任意，使得由柯西审敛原理，知所给级数发散.提高题1.判定下列级数的收敛性:★★1);★★2);★★★★3);★
5、★★★4).解：1)收敛，发散，发散.2)发散.3)发散.4)由数列单调递增趋于知：即，,发散.2.求下列级数的和.★★1);★★★★2)解：1).,.2),.§11.2正项级数判别法内容概要名称主要内容正项级数（为常数，）正项级数敛散性判别法1.一般形式若当为大于的常数，则1)收敛收敛.2)发散发散比较判别法极限形式若，则1),这两级数同时收敛同时发散.2),收敛收敛.3),发散发散.2．比值判别法,则1),级数收敛；2),级数发散;3),本法失效.3.根值判别法,则1),级数收敛；2),级数发散;3),本法失效.4.积分判别法若存在上单调减少的
6、连续函数，使得，则1）收敛收敛.2)发散发散.常用的结论当时收敛其和为，当时发散.级数时收敛，时发散例题分析★1.用比较判别法或极限判别法判别下列级数的收敛性：1)2)3)4).知识点：比较判别法.思路:比较判别法的特点：先要初步估计一下被判级数的敛散性，然后找一个已知敛散性级数与之对比。这就要求我们初步判断正确，同时要掌握一些已知其敛散性的级数。常用的级数有两个：等比级数时收敛，时发散,级数时收敛，时发散.解：1)分析：与当时是同阶无穷小.估计是发散的。而发散,由比较判别法知发散.2)分析：此题无法直接用比较判别法，因随的增加而变化，当为奇数时等
7、于1，当为奇数时等于3，即分母不超过3，因此有。，而收敛,由比较判别法知收敛3)分析：（），估计是收敛的.,而收敛,收敛.4)分析：（），而收敛,收敛.小结：比较判别法判断级数的敛散性，一般可从等价无穷小量出发，找一个已知敛散性的级数与之比较.2.用比值判别法判别下列级数的收敛性：★★1);★2)★3)解：1)由比值判别法知收敛.2)由比值判别法知收敛.3)由比值判别法知发散.小结：通过上面1)-3)题，当一般项中含有等，或与有公因子时，常用比值判别法.3.用根值判别法与积分判别法判别下列级数的收敛性：★1);★2)解：1)由根值判别法知，级数收敛
8、.2)设则显然在时非负且连续，因故在时单调减少.由积分判别法知发散.小结：当一般项中含有等时，常用根值判别法.课后习题全解
