二维广义有阻尼sine-gordon方程交替方向差分方法

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1、摘要在现代常微分方程定性理论研究中，动力系统的研究逐渐被人们所关注，其中有穷维动力系统的研究已经有三十多年的历史，并且也取得了很多重要的成果，而无穷维动力系统理论相对于有穷维动力系统具有一些新的特点，如具有孤立子和空间上的混沌现象等等．本文所讨论的二维广义有阻尼ｓｉｎｅ－ｇｏｒｄｏｎ方程就是在研究无穷维动力系统中提出的一个很重要的模型，同时也是研究非线性波动方程的常用模型．由于其在量子物理中有着重要的意义，随着对其认识的逐渐加深而越来越受到人们的重视．本文首先简要的介绍了ｓｉｎｅ－ｇｏｒｄｏｎ方程的相关背景

2、知识，研究背景和交替差分方法．并引入了一些相关记号，概念和引理．然后用变量替换的方法构造交替方向差分格式，它的主要思想就是降阶，即用变量ｖ代替ｔｌ的一阶导数，然后进行离散，从而构造出交替方向差分格式，理论分析将得出此格式是收敛且稳定的，最后进行数值计算证明计算结果与理论相符合．最后用分离算子的方法构造交替方向差分格式，即将ｓｉｎｅ－ｇｏｒｄｏｎ方程中的非线性微分算子进行分解，分解为线性和非线性两部分，对线性部分采用隐式格式来逼近，对非线性部分采用显示格式来逼近，这种方法构造的交替格式不仅将多维问题转化为一维问

3、题，而且在Ｘ和Ｙ方向上的计算格式结构完全相同，均为三对角矩阵形式，易于编程并进行计算，最后通过数值算例验证了理论分析．关键词：ｓｉｎｅ—ｇｏｒｄｏｎ方程；交替差分格式；稳定性；收敛性ＡＢＳＴＲＡＣＴＩｎｔｈｅｍｏｄｅｒｎｒｅｓｅａｒｃｈｏｆｑｕａｌｉｔａｔｉｖｅｔｈｅｏｒｉｅｓｏｆｏｒｄｉｎａｒｙｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｄｙｎａｍｉｃａｌｓｙｓｔｅｍｈａｓｂｅｅｎｃｏｎｃｅｒｎｅｄｂｙｐｅｏｐｌｅ．ｔｈｅｌｉｍｉｔｅｄｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｄｙｎａｍｉｃａｌｓｙｓｔｅｍｓｈａｓｂｅｅｎｓｔｕｄｉｅｄｍｏｒｅ

4、ｔｈａｎｔｈｉｒｔｙｙｅａｒｓ，ａｎｄａｌｓｏｇｅｔｍｏｒｅｉｍｐｏｒｔａｎｔａｃｈｉｅｖｅｍｅｎｔｓ；ｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｌｉｍ－ｉｔｅｄｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｄｙｎａｍｉｃａｌｓｙｓｔｅｍ，ｔｈｅｉｎｆｉｎｉｔｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｄｙｎａｍｉｃａｌｓｙｓｔｅｍｔｈｅｏｒｙｈａｓｓｏｍｅｎｅｗｆｅａｔｕｒｅｓ，ｓｕｃｈａｓｔｈｅｓｏｌｉｔｏｎａｎｄｓｐａｔｉａｌｃｈａｏｓｐｈｅｎｏｍｅｎｏｎ．Ｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｗｉｔｈｄａｍｐｉｎｇｔｅｒｍＳｉｎｅ－Ｇｏｒｄ

5、ｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｄｉｓｃｕｓｓｅｄｉｎｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅｉｓａｖｅｒｙｉｍｐｏｒｔａｎｔｍｏｄｅｌｉｎｔｈｅｉｎｆｉｎｉｔｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｄｙｎａｍｉｃａｌｓｙｓｔｅｍ，ｗｈｉｃｈｉｓａｃｏｍｍｏｎｌｙｕｓｅｄｍｏｄｅｌｆｏｒｔｈｅｓｔｕｄｙｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｐｈｙｓｉｃｓ．Ｆｏｒｉｔｓｖｉｔａｌｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅｉｎｑｕａｎｔｕｍｐｈｙｓｉｃｓ，ｐｅｏｐｌｅｈａｖｅｐａｉｄｍｏｒｅａｎｄｍｏｒｅａｔｔｅｎｔｉｏｎｔｏｉｔｗｉｔｈｔｈｅｕｎｄｅ

6、ｒｓｔａｎｄｉｎｇｇｒａｄｕａｌｉｎ－ｄｅｐｔｈＴｈｅｆｉｒｓｔｃｈａｐｔｅｒｂｒｉｅｆｌｙｄｅｓｃｒｉｂｅｓｔｈｅｒｅｌｅｖａｎｔｂａｃｋｇｒｏｕｎｄｋｎｏｗｌｅｄｇｅａｎｄｒｅｓｅａｒｃｈｂａｃｋｇｒｏｕｎｄｏｆＳｉｎｅ－ＧｏｒｄｏｎｅｑｕａｔｉｏｎａｎｄａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｍｅｔｈｏｄＴｈｅｓｅｃｏｎｄｃｈａｐｔｅｒｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓａｎｕｍｂｅｒｏｆｒｅｌａｔｅｄｍａｒｋｓ，ｃｏｎｃｅｐｔｓａｎｄｌｅｍｍａＴｈｅｔｈｉｒｄｃｈａｐｔｅｒｄｅｓｃｒｉｂｅｓｍｅｔｈｏｄｓｏ

7、ｆＡＤＩｂｙｓｅｐａｒａｔｉｎｇｏｐｅｒａｔｏｒ．Ｉｔｗｉｌｌｒｅｓｏｌｖｅｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｏｐｅｒａｔｏｒｉｎｔｏｌｉｎｅａｒａｎｄｎｏｎｌｉｎｅａｒｐａｒｔ．Ｕｓｉｎｇｉｍｐｌｉｃｉｔｓｃｈｅｍｅｔｏａｐｐｒｏａｃｈｔｈｅｌｉｎｅａｒｐａｒｔ；ｄｉｓｐｌａｙｆｏｒｍａｔｔｏａｐｐｒｏａｃｈｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｐａｒｔ．Ｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｗｉｌｌｔｒａｎｓｆｏｒｍｔｈｅｍｕｌｔｉ・ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｐｒｏｂｌｅｍｉｎｔｏｏｎｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｐｒｏｂ

8、ｌｅｍ，ａｎｄｈａｖｅｍａｎｙａｄｖａｎｔａｇｅｓｓｕｃｈａｓｉｄｅｎｔｉｃａｌｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｉｎＸａｎｄＹｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ，ｔｈｒｅｅ．ｄｉａｇｏｎａｌｍａｔｒｉｘｆｏｒｍ，ｅａｓｙｔｏｐｒｏｇｒａｍａｎｄｃａｌｃｕｌａｔｅｄ．ＡｔｌａｓｔｖｅｒｉｆｙｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓｂｙＩＩＩｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｓＴｈｅｆｏｕｒｔｈｃｈａｐ