第一类换元积分法的“凑微分”思想探析及运用

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1、第一类换元积分法的“凑微分”思想探析及运用第一类换元积分法的凑微分思想探析及运用　在高等数学中，微积分学是重要的知识内容.第一换元积分法（也叫凑微分法）是一种重要的基本积分方法，它的关键步骤是.L.凑微分.熟练掌握和运用凑微分的思想方法，对学习后续的第二换元积分法和分部积分法等积分方法有很重要的作用.由于积分是微分的逆运算，没有固定的公式和模式可以直接套用，需要对积分式子进行适当的变形和换元才能够利用积分公式计算出来，所以，初学者在学习的过程中往往对要凑微分的函数作出多次尝试，浪费了时间.本文就第一换元积分法中的凑微分思想的理论依据进行解析，总结出凑微分的具体计算方法，帮助

2、初学者更好地学习和掌握凑微分的知识并在积分运算中运用.　　第一换元积分法是当被积表达式∫g(x)dx不容易求出积分时，可以通过恒等变形和变量代换，将被积表达式转化成为基本积分公式表中的某一被积表达式，然后根据基本积分表中的某些公式，对新变量进行积分，最后还原求出结果.其具体的计算过程可表示为：∫g(x)d(x)=∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f［φ(x)］dφ(x)=∫f(u)du=F(u)+C=F［φ(x)]+C.即恒等变形→凑微分&rar

3、r;换元→积分→回代的计算过程.其中最为关键的步骤是将积分表达式中的φ′(x)凑成dφ(x)的形式，即俗称的凑微分.　　1.凑微分思想的理论依据和知识点解析　　凑微分思想的理论依据：其一是原函数的概念，其二是复合函数一阶微分形式的不变性的性质.原函数的概念是不定积分的一个最基本的概念，即：若F′(x)=f(x)，则F(x)称为f(x)的一个原函数.由微分的定义和计算公式可得：任意函数F(x)的微分dF(x)=F′(x)dx=f(x)dx.相对于复合函数而言，设y=f(u)，u=φ(x),

4、则复合函数y=f［φ(x)]的微分为dy=f′(u)φ′(x)dx，由于du=φ′(x)dx，所以上式可以写成dy=f′(u)du，这表明，不论u是自变量还是中间变量，函数y=f(u)的微分形式保持不变，这就是一阶微分形式的不变性，即dy=f′(u)φ′(x)dx=f′(u)du=f′［φ(x)］d［φ(x)］，这个式子从正向看是利用微分计算公式进行运算，而从逆向看是一个凑微分的过程，实际上也是一个积分的过程，即f′［

5、φ(x)］d［φ(x)］=f′(u)du=f′(u)φ′(x)dx=dy.所以要掌握凑微分的运算技巧，既要会用微分公式计算函数的微分，又要善于利用逆向思维灵活变形.例如：3dx=d(3x+2),2xdx=dx2，cosxdx=dsinx，exdx=dex，3dx=d(3x+2)等.　　2.凑微分时要分清复合函数结构，由函数结构确定基本积分公式和凑微分因式　　凑微分没有一个固定的模式，需要对函数正向逆向计算比较之后才可以确定凑微分的因式.而将什么函数凑进微分，如何凑，有没有一般的规律可遵循呢？一般地，大部分

6、被积函数中都会出现复合函数的形式，而运用积分公式运算时需要积分变量与函数的中间变量保持一致，因此，复合函数的外层函数往往决定了求解时可以利用基本积分表中的积分公式，而除去外层函数后剩下的部分即为凑微分的因式.凑微分的计算步骤可归纳为：第一，先观察被积函数的函数结构，由外向内逐层分析复合函数结构，通过外层函数联系基本积分公式表就可以确定需要运用的基本积分公式；第二，把握积分变量和函数中间变量相一致的原则，将出发点放在被积函数中的复合函数上，除去外层函数剩下的函数的中间变量即为需要凑微分的因式，可尝试将函数中间变量凑进微分里，然后展开计算函数的微分，与原积分式子作一比较，看需要

7、什么条件进.L.行补充，使之成为恒等变形，然后逆向运算进行凑微分后，即可利用基本积分公式进行求解.　　3.运用第一换元积分法计算积分的方法和步骤　　我们结合凑微分运用第一换元积分法计算积分时可分为三个步骤进行：　　第一步，确定积分公式：分析被积的复合函数的结构，由外层函数联系基本积分公式表，可以初步判断将要运用到的某一个基本积分公式.　　第二步，凑微分：除去外层函数，将复合函数的中间变量函数φ(x)凑进微分里变成dφ(x)，对比观察原被积表达式，补充一定的条件使之成为一个恒等变形，将积分表达