医用高等数学中“凑微分”思想浅析

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1、医用高等数学中“凑微分”思想浅析【关键词】不定积分;凑微分;换元积分法;分部积分法;医用高等数学　微积分是医用高等数学的基本和主要内容，在数学甚至是自然科学的发展阶段中有着不可磨灭的贡献，正如恩格斯所说：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是在这里”[1]。不定积分是微积分中的重要一章，是解决反问题的重要方法，在科学、技术和经济等许多领域中有着重要的应用。不定积分掌握程度的好坏直接决定着对后面定积分、多元函数微积分以及微分

2、方程等章节内容的掌握，亦对后续课程的学习有很大的影响。由于不定积分方法的灵活性和结果的不确定性，同学们在学习时往往显得无从下手，下面结合自己在讲授不定积分时的经验，关于不定积分求解方法的学习提几点建议。　　在教学之余，曾关于不定积分的求解方法总结过一句口诀“原函数，结牛莱，凑微代换分部微元来，定于不定都交代”[2]。不定积分的常规求解方法主要包括直接积分法、换元积分法和分部积分法，而经常使用的主要是换元积分法和分部积分法，其核心即——“凑微分”。　　1换元积分法中的“凑微分”　　换元积分法中的“凑微分”主要体现在第一类换元积分法中，其

3、基本原理是：当〖JF(Z〗g(x)dx〖JF)〗不容易直接求出时，则将其转化成〖JF(Z〗f[φ(x)]φ′(x)dx〖JF)〗，然后令φ′(x)dx=dφ(x)=du(取φ(x)=u)，即〖JF(Z〗g(x)dx〖JF)〗=〖JF(Z〗f[φ(x)]φ′(x)dx〖JF)〗=〖JF(Z〗f[φ(x)]dφ(x)〖JF)〗=〖JF(Z〗f(u)du〖JF)〗。其中的关键是第一步：将g(x)拆分成f[φ(x)]φ′(x)，这正是“凑微分”的核心。由于“凑微分”方法灵活多样，单单依靠几个常见的凑微分公式并不能给同学们足够的启示，在讲解过程

4、中我们将方法归结为“一拆、二靠、三转化”三步走，并且结合常见的不定积分公式求解，这样同学们掌握起来就比较容易了。　　1.1“拆”　　遇到一个不定积分题目，首先看其能否直接拆分成若干个函数的乘积，若能，则挨个观察拆分成的函数能否凑微分，找出合适的进行凑微分求解。如：求解不定积分〖JF(Z〗cosx2xdx〖JF)〗分析：观察到被积函数cosx2x可以拆分成两个函数的乘积：cosx·12x，并且12x可以进行凑微分从而变成dx。解：〖JF(Z〗cosx2xdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosx·12xdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosxdx

5、〖JF)〗=sinx+C。　　1.2“靠”　　若一个不定积分不能直接拆分成若干个函数的乘积或可以拆分成若干个函数的乘积但是难以进行凑微分计算，则先观察它是否与某一个不定积分基本公式形式上接近，若接近，就以此不定积分基本公式为目标去靠近从而求解。如：求解不定积分〖JF(Z〗1a2+x2dx〖JF)〗分析：通过观察此不定积分不能直接进行拆分，但其与不定积分基本公式〖JF(Z〗11+u2du〖JF)〗=arctanu+C形式上接近，因此我们可以以此为目标去靠近。解：〖JF(Z〗1a2+x2dx〖JF)〗=1a2〖JF(Z〗11+(xa)2d

6、x〖JF)〗=1a〖JF(Z〗1adx1+(xa)2〖JF)〗=1a〖JF(Z〗d(1ax)1+(xa)2〖JF)〗=1aarctanxa+C。　　1.3转化　　若一个不定积分既不能直接拆分成若干个函数的乘积或可以拆分成若干个函数的乘积但是难以进行凑微分计算，又不与任何一个不定积分基本公式形式上接近，则可以先利用恒等变形等方法进行转化，再根据转化的形式进行相应求解。如：求解不定积分〖JF(Z〗1a2-x2dx〖JF)〗分析：此不定积分既不能直接拆分成若干个函数的乘积或可以拆分成若干个函数的乘积但是难以进行凑微分计算，又不与任何一个不定

7、积分基本公式形式上接近。通过观察被积函数1a2-x2可以用拆分成1a-x·1a+x，从而逆用通分公式变成12a(1a-x+1a+x)进行求解。解：〖JF(Z〗1a2-x2dx〖JF)〗=〖JF(Z〗1(a+x)(a-x)dx〖JF)〗=12a〖JF(Z〗(1a+x+1a-x)dx〖JF)〗=12a[〖JF(Z〗1a+xdx〖JF)〗+〖JF(Z〗1a-x)dx〖JF)〗]=12a[〖JF(Z〗1a+xd(a+x)〖JF)〗-〖JF(Z〗1a-x)d(a-x)〖JF)〗]=12a(ln

8、a+x

9、-ln

10、a-x

11、)+C=12alna+xa

12、-x)+C。　　2分部积分法中的“凑微分”　　分部积分法主要适用于被积函数是两个函数乘积形式(主要是反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数五类基本初等函数形式的乘积)的不定积分，主体内容可以概括为“一套公式、两